2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение04.02.2015, 12:52 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #973441 писал(а):
Ведь семейство форм $\omega_t$ не является формой на $\mathbb R^{n+1}$

не понял, у нас есть гладкое семейство форм $\omega=\omega_i(t,x)dx^i$ на многообразии $M,\quad x\in M$, что мешает считать, что это форма на многообразии $\mathbb{R}_t\times M$? Вот она в данных локальных координатах так записана $$\omega=\omega_i(t,x)dx^i+0\cdot dt$.



мы знаем как вычисляется производная Ли в стандартном автономном случае $$L_v(\omega_kdy^k)=\Big(\frac{\partial\omega_i}{\partial y^r}v^r+\omega_s\frac{\partial v^s}{\partial y^i}\Big)dy^i,\quad v=v(y)$, а теперь вспоминаем, что в данных координатах у нас $v^{n+1}=1,\quad y^{n+1}=t$ и сужаем эту форму на многообразие $\{y^{n+1}=const\}$ т.е. $dy^{n+1}=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение04.02.2015, 17:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Vov, я Вас с самого начала неправильно понял, но Вы сами виноваты. Смотрите, как получилось. Вы написали:
Vov в сообщении #971492 писал(а):
вот данная формула и не понятна попробовал подставить и посчитать в координатах получается нечто похожее на выражение полной производной через частные, а полностью доказать не могу
Здесь дефицит знаков препинания, и я Вас понял так:
Попробовал подставить и посчитать в координатах (хотя бы!). Получается нечто похожее на выражение полной производной через частные (полуфабрикат), а полностью (даже этот вариант) доказать не могу.
Т.е. даже в координатах полностью не получается. Поэтому я и решил расписать в координатах.

Вы же имели в виду следующее:
Попробовал подставить и посчитать. В координатах получается нечто похожее на выражение полной производной через частные, а полностью доказать не могу.
Т.е. в координатах получается, а полностью (в бескоординатном виде) — нет.

Поэтому я очень удивился, увидев это:
Vov в сообщении #973355 писал(а):
но как я уже писал в координатном представлении посчитать эту формулу получается
Подумал сначала, что Вы пропустили «не». Как «получается»? Не получалось же!

Ставьте точки! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение04.02.2015, 21:24 


26/01/15
7
svv
Прошу прощения, что не корректно расставил знаки препинания, но все же остается вопрос с геометрической интерпретацией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение05.02.2015, 15:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Vov, я воспринял Ваши вопросы, позже постараюсь подумать, как лучше Вам ответить. Cейчас доведу до конца свой изначальный план.

Расчёт в моей задаче основывается на том, что:
$\bullet$ $t=\tilde t$, $x=x(\tilde t, \tilde x)$, $A=A(t, x)$;
$\bullet$ все функции дифференцируемы нужное количество раз;
$\bullet$ $\tilde A_i=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k$.
Если верны эти посылки, то справедлив и результат, независимо от интерпретации последней формулы. А здесь возможны варианты. Её можно понимать не только как преобразование компонент формы при замене координат (одна точка, одна форма), но и при пуллбэке (две точки, две формы). Если $g$ отображает точку $\tilde P(\tilde x^i)$ в точку $P(x^k)$, то форма $A$ в точке $P$ порождает форму $\tilde A=g^* A$ в точке $\tilde P$. При этом если $\tilde A_i$ и $A_k$ — коэффициенты в разложениях $\tilde A=\tilde A_i d\tilde x^i$, $A=A_k dx^k$, то
$\tilde A_i=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k$
А тогда — хочешь не хочешь — верна (уже в новой интерпретации) и формула
$\frac{\partial \tilde A_i}{\partial \tilde t}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\left(\frac{\partial A_k}{\partial t}+V^\ell\frac{\partial A_k}{\partial x^\ell}+A_\ell\frac{\partial V^\ell}{\partial x^k}\right)$, или
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}A_k\right)=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^i}\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)_k$
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(g^*_t A\right)_i=\left(g^*_t\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)\right)_i$
$\frac{\partial}{\partial \tilde t}\left(g^*_t A\right)=g^*_t\left(\frac{\partial A}{\partial t}+L_V A\right)$
Тильду в левой части я оставлю, мне так яснее.

Вы говорили о группе диффеоморфизмов, но групповые свойства (возможны они или нет) нигде не использовались. Более того, нигде не использовалось и то, что $g_t$ — диффеоморфизм. Посмотрите хоть на вывод, хоть на конечный результат. Всюду только производные типа $\frac{\partial x}{\partial \tilde x}$, но нигде нет $\frac{\partial \tilde x}{\partial x}$.
Хорошо, пусть $g_t$ не группа, а семейство диффеоморфизмов. Должен ли существовать среди них некий выделенный $g_0$, равный тождественному отображению? Нет, не должен.
А обязано ли вообще отображение $g$ иметь обратное? Нет, не обязано.
А должно ли $g$ отображать многообразие в себя? Нет, не обязано, оно может отображать одно многообразие в другое.
Но должны ли в последнем случае эти многообразия хотя бы иметь одинаковую размерность? Совершенно не должны, пуллбэк всё равно будет существовать.
(Понятно, подобные формулы ассоциируются прежде всего с потоками, с системами дифференциальных уравнений, и в этих ситуациях перечисленное, наверное, справедливо, но это необязательно.)

Мне кажется, при поиске геометрического понимания полезно всё это иметь в виду. Я не спец в дифгеме, но, по моим наблюдениям, часто отысканию правильного пути помогает именно «бедность» рассматриваемых геометрических объектов и операций над ними (возможно, в простых учебных примерах). Пришла мысль использовать длину кривой — а метрики нет. Хочешь перенести вектор в другую точку — а связности нет. Поневоле приходится опираться только на узкий набор операций, возможных по самой природе объектов.

Про Ваш вопрос подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение10.02.2015, 02:50 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Пусть $(\omega, v)=i_v\omega$

1. Надо доказать:$$L_v(g^*\omega)=g^*L_{g_*v}\omega\quad\quad(\heartsuit)$$Это следует из формулы гомотопии $L_v\omega = (d\omega, v) + d(\omega, v)$ и
$d(g^*\omega)=g^*(d\omega)$
$(g^*\omega, v)=g^*(\omega, g_*v)$

2. Пусть $g_t: M\to N$, тогда определяем $g: (\mathbb R\times M)\to(\mathbb R\times N)$, отображающее пару $(\tilde t, \tilde x)$ в $(t, x)$, где $t=\tilde t, x=g_{\tilde t}(\tilde x)$, $\tilde x\in M$, $x\in N$.

Это отображение (уже не семейство) $g$ и берем в формуле $(\heartsuit)$. В качестве векторного поля $v$ на $\mathbb R\times M$ берем $\frac{\partial}{\partial \tilde t}$. Дифференциальная форма $\omega$ на $\mathbb R\times N$ пусть удовлетворяет условию $(\omega, \frac{\partial}{\partial t})=0$. Не путаем векторные поля $\frac{\partial}{\partial \tilde t}$ и $\frac{\partial}{\partial t}$, относящиеся к разным многообразиям.

3. Заметим, что
$g_*(\frac{\partial}{\partial \tilde t})=\frac{\partial t}{\partial \tilde t}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial x^k}{\partial \tilde t}\frac{\partial}{\partial x^k}=\frac{\partial}{\partial t}+V$,
где $V=\dot g_t$ — векторное поле на $\mathbb R\times N$, касательное к $N$. В силу линейности $L_{X+Y}\omega=L_{X}\omega+L_{Y}\omega$, получаем$$L_{\frac{\partial}{\partial \tilde t}}(g^*\omega)=g^*\left(L_{\frac{\partial}{\partial t}}\omega+L_{V}\omega\right)$$И дальше, наверное, ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение11.02.2015, 01:06 


26/01/15
7
svv, Огромное Вам спасибо, все стало кристально ясно. Неимоверно благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная прообраза семейства форм по параметру
Сообщение11.02.2015, 12:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Рад был Вам помочь! :P

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group