2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 11:16 


10/06/12
38
Доброго времени суток!

Необходимо свернуть $\Theta(t)/2a\cdot\Theta(at-|x|)$ и $\Theta(t)\cdot\Theta(x-1)/\sqrt{t}$, где $\Theta(\cdot)$ - функция Хевисайда. Задача из обобщенных методов матфизики

После сворачивания (один вариант), получаем:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} 1/\sqrt{t-\tau} (\int\limits_{-\inf}^{+\inf}\Theta(x-\xi-1)\cdot\Theta(a\tau-|\xi|) d\xi ) d\tau$

Раскладывая $\Theta(a\tau-|\xi|)$ получаем первые пределы для $\xi$ : $-a\tau < \xi < a\tau$

Далее раскладываем $\Theta(x-\xi-1)$ и получаем три случая:
$x-1 < -a\tau, -a\tau < x-1 < a\tau, x-1 > a\tau$

Все очень легко считается, но дальше столкнулся с трудностью, как после всего правильно перейти к интегралу по $\tau$ ?

Пробовал добавлять Хевисайда к интегралу по $\tau$, получаются разные варианты ответа на одном интервале. Есть у кого идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы бы для начала скобочки порасставляли и сообщили бы почтенной публике, по какому аргументу сворачивать намерены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Бесконечность пишется \infty, а \inf - это значок инфимума.


Перепишу попонятней:

Видимо, свёртка подразумевается по $(x,t).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 15:57 


10/06/12
38
Да, верно, свертка по $(x,t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Дальше ваши соображения непонятны, покажите формулой, что получилось к этапу:
    Aarnikotka в сообщении #882210 писал(а):
    получаем три случая:
    $x-1 < -a\tau, -a\tau < x-1 < a\tau, x-1 > a\tau$
    Все очень легко считается

А вообще, в $\Theta(t)/2a\cdot\Theta(at-|x|)$ первый множитель лишний...

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 18:50 


10/06/12
38
Первый случай:
$x-1 < -a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{+a\tau}\Theta(x-\xi-1) d\xi = 0$

Второй случай:
$-a\tau < x-1 < a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{x-1} d\xi = x-1+a\tau$

Третий случай:
$ x-1 > a\tau$, тогда $\int\limits_{-a\tau}^{+a\tau} d\xi = 2a\tau$

В первом случае второй интеграл по $\tau$ тоже будет равен $0$

Во втором случае получаем интеграл:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(a\tau-|x-1|)\cdot (x-1+a\tau)/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

В третьем случае получаем
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(x-1-a\tau)\cdot 2a\tau/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

Разрешая второй и третий случай окончательно по $\tau$, получаем разные ответы на одних и тех же интервалах (например на интервале $0<x-1<at$. Вот тут и заключается загвоздка, либо я где-то ошибся. :roll: Буду рад любой возможной помощи!

Есть еще идея собрать все три случая в одну формулу с помощью функций Хевисайда, пока не получилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 21:05 


10/06/12
38
Перевожу задачу в область физики, может быть поможет с нахождением ответа:

стержень бесконечной длины нагревается следующим образом, от точки 1 до $+\infty$ происходит температурное воздействие по формуле $1/\sqrt{t}$, т.е. при увеличении времени температурное воздействие на участок от 1 до $+\infty$ уменьшается. Ясно, что с течением времени участок от $-\infty$ до 1 будет нагреваться также (причем, чем ближе к 1, тем горячее). Осталось найти функцию распределения температур u(x,t) по всей длине стержня :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение30.06.2014, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Aarnikotka в сообщении #882367 писал(а):
Во втором случае получаем интеграл:
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(a\tau-|x-1|)\cdot (x-1+a\tau)/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

В третьем случае получаем
$\Theta(t)/2a \int\limits_{0}^{t} \Theta(x-1-a\tau)\cdot 2a\tau/\sqrt{t-\tau}\cdot d\tau$

Никаких тэта у вас под интегралом уже остаться не должно! То есть, для второго случая вы имеете
$\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\dfrac{x-1+a\tau}{\sqrt{t-\tau}}d\tau,$
а для третьего -
$\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\dfrac{2a\tau}{\sqrt{t-\tau}}d\tau.$
$x$ и $t$ - параметры.

Aarnikotka в сообщении #882367 писал(а):
Разрешая второй и третий случай окончательно по $\tau$, получаем разные ответы на одних и тех же интервалах

Ну и что??? Они же просто разные слагаемые. Пускай ответы разные, вы их складываете, и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение01.07.2014, 08:36 


10/06/12
38
Не согласен с тем, что тэта функция под интегралом не нужна. По трем случаям тау получается зависимой от того, куда попадет x-1, это нужно учитывать при вычислении интеграла по тау (там, кстати, точно также появятся несколько вариантов).

Конечно же, сложил ответы на разных интервалах и все получилось! Как и должно быть - распределение температуры по стержню с течением времени очень похоже на Гауссово распределение.

Munin, спасибо за подсказку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение01.07.2014, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Aarnikotka в сообщении #882600 писал(а):
Не согласен с тем, что тэта функция под интегралом не нужна.

Да, похоже, это я ошибся.

По сути, это надо загнать в пределы. Для $x<0$ будет одно слагаемое $\displaystyle\int\limits_{(1-x)/a}^{t}\mathrm{II},$
а для $x\geqslant 0$ - два слагаемых $\displaystyle\int\limits_{(x-1)/a}^{t}\mathrm{II}+\displaystyle\int\limits_{0}^{(x-1)/a}\mathrm{III},$
разумеется, в случаях, когда $|x-1|/a<t.$

Я вначале не разбирался, но набросал на бумажке 3-мерную область, в которой все теты единичные, в осях $(\xi,a\tau,x-1),$ и повертел её в проекциях на разные плоскости. В конце концов, после интегрирования по $\xi,$ ось $\xi$ должна исчезнуть, и останется плоскость $(a\tau,x-1).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение05.02.2015, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Aarnikotka
Посмотрите "личные сообщения". Ещё про корреляции актуально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение05.02.2015, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #973886 писал(а):
Aarnikotka
Посмотрите "личные сообщения". Ещё про корреляции актуально?

Было бы актуально - исправил бы. Зачем потворствовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свертка функций
Сообщение05.02.2015, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва

(Оффтоп)

Я всё-таки надеюсь, что человек решает прикладную задачу и сильно задолбался, некогда почту посмотреть.
Может, и зря надеюсь, но всё же...
Да, и приношу извинения за оффтопик.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group