2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать тождество
Сообщение02.02.2015, 17:28 


17/05/13
115
Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение02.02.2015, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1594
Москва
Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой. Оставьте только ненулевые, их будет $n$ штук. Потом сделайте снаружи $n$ вместо $k$ и запишите биномиальные коэффициенты через факториалы. Надо будет кое-что перегруппировать и заменить переменную суммирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение03.02.2015, 08:49 


17/05/13
115
ex-math в сообщении #972715 писал(а):
Пусть в Вашей сумме $k>n$, тогда часть слагаемых заведомо будет нулевой.

Я вот тоже подумал что от этого плясать нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение04.02.2015, 06:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4557
Нов-ск
hassword в сообщении #972588 писал(а):
Дано $T(k;n)=k\sum_{i=0}^{k-1} {k-1\choose i}{n+i\choose k}$, где $n$ и $k$ целые числа больше нуля.
надо показать почему $T(k;n)=T(n;k)$

$T(k;n)$ - это коэффициент при $x^k$ в
$$k(1+x)^n(1+(1+x))^{k-1}=k(1+x)^n(2+x)^{k-1}, \;\;(n<k)$$
Поэтому осталось показать, что
$$k\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{k-1}C^{i+1}_n = n\sum_{i=0}^{n-1}2^iC^i_{n-1}C^{i+1}_k $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать тождество
Сообщение04.02.2015, 07:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1594
Москва
TOTAL
Красиво. Но оно и напрямую в три строчки доказывается, я выше написал как.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group