2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 19:51 


26/12/13
44
В наличии 2 ряда. Исследовать на сходимость.
1) $\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac {\sqrt{\ln n}}{n+1}$
Полагаю, что надо использовать признак сравнения. Сравним с $\frac 1 n$. Начинаем подставлять n. Начиная с n=5, выполняется неравенство $\frac {\sqrt{\ln n}}{n+1}>\frac 1 n$, следовательно исходный ряд расходится. Имеет место быть такое решение? И как сильно влияет на решение тот факт, что при $n<5$ неравенство не будет выполняться?
2) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \sin (\frac {n^2+1}{n})$
Ограниченность синуса:
$0\leqslant \sin(\frac{n^2+1}{n})\leqslant 1$
Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус. Вот если бы числитель и знаменатель поменять местами, тогда я б использовал эквивалентность, синус бы улетел, и возможно было бы применение предельного признака сравнения. А здесь как быть? Опять же через признак сравнения, используя ограниченность синуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11084
Казань
Hsad в сообщении #970732 писал(а):
Имеет место быть такое решение?
Вполне

Hsad в сообщении #970732 писал(а):
И как сильно влияет на решение тот факт, что при $n<5$ неравенство не будет выполняться?
Никак не влияет. Это не важно.

Hsad в сообщении #970732 писал(а):
Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус.
Не можете. Подумайте о необходимом условии сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:16 


26/12/13
44
provincialka в сообщении #970737 писал(а):
Hsad в сообщении #970732 писал(а):
Имеет место быть такое решение?
Вполне

Интересно. Показывал преподавателю подобное решение, сказал мне делать через интегральный признак, не сказав при этом, что решено было правильно :)
provincialka в сообщении #970737 писал(а):
Hsad в сообщении #970732 писал(а):
Не могу же я по эквивалентности "убрать" синус.
Не можете. Подумайте о необходимом условии сходимости.

Вычисляя предел получу $\sin \infty$. Но он же периодичен, значит принимает значения от -1 до 1. Хм. Расходится? Но он же может принять и значение 0? И тогда необходимый признак не работает.Не совсем понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11084
Казань
Можно и через интегральный. Но его обычно применяют, если логарифм в знаменателе.
Hsad в сообщении #970756 писал(а):
Но он же может принять и значение 0? И тогда необходимый признак не работает.
Разве в необходимом признаке условии говорится об отдельных значениях?
Кстати "ваш" синус в ноль не обращается.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:27 


26/12/13
44
provincialka в сообщении #970760 писал(а):
Разве в необходимом признаке говорится об отдельных значениях?
Кстати "ваш" синус в ноль не обращается.

Честно говоря, наверное, первый раз встретил предел (или уже подзабыл), который равен не какому-то числу/нулю/бесконечности, а который принимает значение от -1 до 1.Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11084
Казань
Hsad в сообщении #970766 писал(а):
Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

Нет, предел вообще не существует. Другое дело, как это доказать... Есть, конечно, методы, и здесь на форуме это тоже обсуждалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:37 
Заслуженный участник


11/05/08
31074
Hsad в сообщении #970766 писал(а):
Т.е. можно указать, что предел принимает значения от -1 до 1, и по необходимому признаку сравнения расходится?

Нельзя. Детали тут даже и не важны -- главное, что признаки сравнения формулируются лишь для рядов с членами определённого знака.

Hsad в сообщении #970756 писал(а):
Показывал преподавателю подобное решение, сказал мне делать через интегральный признак

Сочувствую. Если препод не понимает, что интегральный признак идёт глубоко после признаков сравнения и эталонов к этим признакам, и что подобные задачки отнюдь не на интегральный -- то можно лишь вам (и ему) посочувствовать. Впрочем, не исключено, что он к моменту сочинения просто ещё не успел проснуться.

-- Чт янв 29, 2015 21:39:18 --

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #970770 писал(а):
Другое дело, как это доказать...

но зато это вполне убедительное д-во, что препод таки не проснулся

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11084
Казань
Ба! А я и не заметила:
Hsad в сообщении #970766 писал(а):
по необходимому признаку сравнения
Или уж признак сравнения, или необходимое условие. А то монстр какой-то получился.

 Профиль  
                  
 
 Re: 2 ряда
Сообщение29.01.2015, 21:24 
Заслуженный участник


11/05/08
31074

(Оффтоп)

gris в сообщении #970783 писал(а):
для ряда $\sum\dfrac1{n+1}$. Ведь он же меньше гармонического.

Это-то как раз нормальная реакция. Товарищ, во всяком случае, понимает, что эти признаки работают лишь в одну сторону. А что можно, оторвав задницу от стула, это направление и перевернуть -- так это уж типо высший пилотаж. Нельзя же требовать ото всех быть асами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group