2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности.
Сообщение03.08.2014, 15:53 
Аватара пользователя


01/05/10
104
${{a}_{1}}=1; {{a}_{2}}=2; {a_{2k+1}}=\frac{1}{2k}\sum\limits_{i=1}^{2k}{{{a}_{i}}}; {{a}_{2k}}=\sqrt[2k-1]{\prod\limits_{i=1}^{2k-1}{{{a}_{i}}}}$. $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}-?$ Похоже, что последовательность состоит из двух подпоследовательностей (с четными и нечетными номерами), одна из которых монотонно возрастает, а вторая монотонно убывает, но вот общий ли у них предел и какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение04.08.2014, 12:25 


28/05/12
203
Для начала наверное нужно обосновать сходимость этих двух последовательностей. Попробуйте и посмотрите на каждый член каждой последовательности по отдельности, ничего не напоминает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение04.08.2014, 14:05 
Аватара пользователя


01/05/10
104
Нет, ничего не напоминает. Вот первая подпоследовательность: 1, 1.5, 1.485562392577, 1.479770312409, 1.476663042031.... А что это может напоминать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение04.08.2014, 14:52 


28/05/12
203
Ну я имел ввиду среднее арифметическое и среднее геометрическое. Далее нужно воспользоваться неким неравенством между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение06.08.2014, 18:37 
Аватара пользователя


01/05/10
104
Slow в сообщении #893311 писал(а):
Ну я имел ввиду среднее арифметическое и среднее геометрическое. Далее нужно воспользоваться неким неравенством между ними.

:-( Каким неравенством? Здесь же каждый раз эти средние берутся от разных наборов значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение06.08.2014, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Острая задача. Как-то не очевидно даже, что обе подпоследовательности монотонны; более того, на начальном этапе это тупо неверно.
Надо заходить с другой стороны. Допустим, пределы разные: a и b. Тогда для достаточно больших номеров (эти слова надо развернуть и ещё раз развернуть) чётный член будет достаточно близок к $\sqrt{ab}$, нечётный - к $a+b\over2$, а оба они - недопустимо близко друг к другу (ближе, чем следует из допущения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение07.08.2014, 11:34 
Аватара пользователя


01/05/10
104
ИСН в сообщении #893743 писал(а):
Как-то не очевидно даже, что обе подпоследовательности монотонны; более того, на начальном этапе это тупо неверно.

Да, на начальном неверно, но значение предела не зависит от значений конечного числа членов последовательности.

ИСН в сообщении #893743 писал(а):
Допустим, пределы разные: a и b. Тогда для достаточно больших номеров чётный член будет достаточно близок к $\sqrt{ab}$, нечётный - к $a+b\over2$, а оба они - недопустимо близко друг к другу (ближе, чем следует из допущения).
Не очень понятно, чо значит "недопустимо близко" и что следует из сказанного. Ведь вполне может $a = b$ и тогда $\sqrt{ab} = {{a+b}\over2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение07.08.2014, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4589
Нов-ск
Kornelij в сообщении #893877 писал(а):
Ведь вполне может $a = b$ и тогда $\sqrt{ab} = {{a+b}\over2}$.
Если допустить, что пределы разные, то вполне может быть, что они одинаковые. Это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение07.08.2014, 21:26 
Аватара пользователя


01/05/10
104
Это к тому, что не понятно, разные они или нет. Если разные, то как это доказать, а если одинаковые, то как найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение07.08.2014, 21:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Предположим, что они разные. Разные такие разные, ну, знаете, когда между ними разница аж в 0.1, ну или меньше, но в общем, какая-то там разница. Дальше прочитайте мой предыдущий пост. "Недопустимо близко" - значит, грубо говоря, что ближе, чем $|a-b|$.
Теперь по второй части. Если одинаковые, то как найти. Здесь ответ простой. Приближённо - найти первый, второй, стопятисотый и так далее. А "точно" - никак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение08.08.2014, 17:11 
Аватара пользователя


01/05/10
104
ИСН в сообщении #894085 писал(а):
А "точно" - никак.

Гм... но должно же быть решение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение08.08.2014, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13129
с Территории
Откуда инфа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение11.08.2014, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4589
Нов-ск
Kornelij в сообщении #894081 писал(а):
не понятно, разные они или нет

Так как $$a_{2k+1}=\frac{1}{2k}a_{2k}+\frac{2k-1}{2k}a_{2k-1},$$
$$a_{2k+2}=a_{2k+1}^{\frac{1}{2k+1}} \cdot a_{2k}^{\frac{2k}{2k+1}},$$то следующий член лежит между двумя предыдущими (начиная с пятого), члены с четными номерами возрастают, с нечетными убывают, соответствующие подпоследовательности сходятся.

Так как $$a_{2k+1}=a_{2k-1}-\frac{1}{2k}(a_{2k-1}-a_{2k}),$$ то предел у подпоследовательностей одинаков (сумма гармонического ряда бесконечна)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности.
Сообщение28.01.2015, 18:36 
Аватара пользователя


01/05/10
104
TOTAL, что-то я ни первое "то", ни второе "то" не понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group