2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Интуиция vs бесконечность
Сообщение09.11.2014, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Подкинули мне на днях презабавную задачку, захотелось поделиться. Но для начала предлагаю "сверить часы" наших интуиций.

1. Забавляется, например, Ахиллес с Черепахой. Пробежит Черепаха за полчаса метр да полметра -- Ахиллес тут же (мгновенно) возвращает её на 1 метр обратно; Черепаха за следующие четверть часа пробегает треть метра плюс ещё четверть, а Ахиллес её обратно на полметра; за осьмушку часа ... . Ну и дальше понятно: Черепаха, не ограниченная скоростью света, в течение всего часа делает всё меньшие рывки вперёд, а Ахиллес терпеливо возвращает её обратно. Вопрос: какое расстояние преодолеет Черепаха к исходу часа?
Модель для этой задачи простая (знакопеременный ряд, законно сводящийся к гармоническому), и если наши интуиции схожи, то против ответа $\ln2$ возражать никто не будет.

2 (Перефраз из Гарднера). Есть у нас пустая корзина и бесконечно много упорядоченных в порядке возрастания нумерованных карточек с номерами $1, 2, 3, \dots $. Производим процедуру, аналогичную предыдущему примеру: через полчаса помещаем в корзину 2 карточки и тут же забираем первую, затем -- через четверть часа -- помещаем ещё 2 и забираем вторую и т.д.
Вопросы:
(а) сколько карточек останется в корзине ровно через час?
(б) чему равна сумма чисел в корзине ровно через час?
Модель для этой задачи тоже простая, хоть и другая. По количеству карточек, уверен, мы (и с Гарднером тоже) сойдёмся во мнении -- $0(=|\emptyset |)$.
По вопросу (б) интуиция уже срабатывает не так однозначно. Хотя числа в данном примере являются неотъемлемыми атрибутами карточек, придирчивый читатель, вероятно, попросит сформулировать вопрос строже: например, чему равна сумма чисел на карточках в корзине ровно через час? И ответ на такой вопрос будет однозначно следовать из (а) -- $0$.

Ну и сама задача.
Пусть теперь у нас имеется набор золотых гирек, на каждой из которых указан её вес: 1 кг, $1/2$ кг, ..., и всё та же пустая корзина. По той же схеме забавляемся один час и спрашиваем:
(а) сколько гирек в корзине ровно через час?
(б) сколько золота (в кг) в корзине ровно через час?
(в) при желании можно спросить и о числах на гирьках.

И здесь уже нас ждут мелкие неприятности. Золота, конечно $\ln 2$ кг, а гирек никаких нет. Студенту просто объяснить: сказать, что невозможно построить согласованные модели для разных вопросов этой задачи; привести для наглядности в пример парадокс Бертрана, в котором также разные модели приводят к разному результату (хотя, имхо, и с меньшим ущербом для интуиции).
А чот сказать толковому ученику, прочитавшему Виленкина (по теме) и того же Гарднера?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение09.11.2014, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
grizzly в сообщении #928708 писал(а):
...
А чот сказать толковому ученику, прочитавшему Виленкина (по теме) и того же Гарднера?
Скажите этому ученику, что подобные вопросы на ДАННОМ форуме уже обсасывались десятками страниц, и "доморощенные хфилософы" немного там всех подзадолбали, пусть этот ученик поиском поучится пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение09.11.2014, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Спасибо! пойдём искать :)
Вопрос закрыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение09.11.2014, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
To All
Если кого-то заинтересует тема, сэкономьте на поиске (:
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).
На выходе будет небольшое количество нужных тем.

Brukvalub
Искренне благодарен за подсказку. Теперь я понимаю Ваш уничижительный тон, но не могу его одобрить -- не так уж плохо получилось у нас двоих по сравнению с общим мозговым штурмом. Впрочем, -- нет -- в любом случае не могу одобрить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение31.12.2014, 21:03 


15/12/14
4
grizzly в сообщении #928971 писал(а):
To All
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).

Такое толковому ученику показывать опасно. Как потом объяснить, что предел периметров правильных вписанных многоугольников равен $2\pi$, если сами многоугольники имеют пределом пустое множество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение01.01.2015, 02:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Какое ещё пустое множество?

-- Чт янв 01, 2015 04:43:11 --

Тут аж две ошибки: во-первых, предел не обязательно должен быть по базе окрестностей какой-то точки — всем знакомы пределы на бесконечности. Так что совершенно не важно, есть ли предел у последовательности многоугольников (тем более что обычно периметр в текущем контексте рассматривается как функция числа сторон, а не класса эквивалентности многоугольников, так что вообще не важно, что там с ними). Во-вторых, предел таки есть, хоть и не многоугольник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение01.01.2015, 13:53 


15/12/14
4
Будем последовательно вписывать многоугольники, и стирать предыдущие. Для простоты пусть это будут правильные многоугольники с простым числом сторон.
Тогда для любой точки плоскости можно указать момент, начиная с которого, она не принадлежит построенному множеству.

arseniiv в сообщении #954981 писал(а):
Так что совершенно не важно, есть ли предел у последовательности многоугольников

Но почему-то для ответа на вопрос "Сколько шаров в урне?" считалось важным предъявить множество шаров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение01.01.2015, 22:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):
Будем последовательно вписывать многоугольники, и стирать предыдущие.
Не совсем понятно, что имеется в виду. Ниже я предположил, что многоугольники вычитаются из круга.

elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):
Для простоты пусть это будут правильные многоугольники с простым числом сторон.
Ну простое число сторон-то зачем?

elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):
Тогда для любой точки плоскости можно указать момент, начиная с которого, она не принадлежит построенному множеству.
Не плоскости, а круга. И не для любой даже: даже если мы каким-то чудом расположим вершины всех многоугольников в разных местах окружности, их будет всего лишь счётное количество. А окружность содержит континуум. Ну ладно, внутренность круга вы, конечно, всю съедите, если будете вписывать правильные многоугольники со всё большим числом сторон. И что? А также причём здесь периметры?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение26.01.2015, 20:52 


30/11/10
80
grizzly в сообщении #928971 писал(а):
To All
Если кого-то заинтересует тема, сэкономьте на поиске (:
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).
На выходе будет небольшое количество нужных тем.


Почитал. В борьбе теории множеств со здравым смыслом победила теория множеств. Давайте пользоваться плодами победы. Догонит ли черепаха Ахилеса? За конечное время ни в жизнь. Но если дать ей бесконечное время, то она резким спуртом догонит, а может на финише бесконечности и перегонит. Что, не верите? Разве не попадет черепаха в любую точку, в которой побывал Ахилес? Конечно же попадет. Значит, в какой-нибудь точке и догонит. :D Вам тоже смешно? Но рассуждения такие же, как и в случае с шариками: десять кладем, один забираем, а в итоге пшик, куда-то резко пропали. Почему вам тогда не было смешно. :shock:
Просто применять ТМ нужно там, где она применима. А если получаем абсурд, то нужно задуматься, а что делаем не так?
Допустим, мне говорят, что два конкретные отрезки равны, ну и давай о бесконечности точек и их взаимном соответствии. Я беру линейку и меряю, 3 и 4 см. Не, говорю, ты меня не путай: равномощны не значит равны. Вот такую же подмену понятий нужно поискать и в условиях или доказательстве Литлвуда. Нужно взять бесконечную линейку и положить на нее шарики, которые добавляем в ящик. Потом достать еще шариков другого цвета, столько, сколько вынимали, и положить на ту же линейку. Ясное дело, что эти шарики пореже будут лежать, хотя и тех и других бесконечно много. Убираем те шарики, которые друг против друга лежат. Смотрим, сколько осталось? Тоже бесконечно много. И не суть важно, как мы выбирали шарики : первый, последний, случайный, их все равно одно и тоже число.
Литлвуд сам мне вручил такую бесконечную линейку, описав процедуру выбора шаров так, что я могу судить не только о равномощности множеств, но и о их равенстве, несмотря на то, что они бесконечные, просто сравнив их поэлементно.
Вот если бы он сказал так: бесконечное число раз добавляем по десять и бесконечное число раз убираем по одному (без указания порядка), тогда да, у меня не было бы линейки, чтобы проверить множества на равность, речь могла бы идти только о равномощности, и я бы согласился со всеми вашими ответами, причем без ущерба для здравого смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение27.01.2015, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
По правилам форума, если не ошибаюсь, ТС может просить уничтожить свою тему или снести её в какой-нибудь чулан/карантин/пургаторий.

Модераторы, пожалуйста, убейте каким-нибудь способом эту тему или хотя бы закройте её под замок. Если идея жизни этой темы только в том, что я должен был осознать наивность своих первых шагов на форуме и правоту Brukvalub, то я это давно уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интуиция vs бесконечность
Сообщение27.01.2015, 10:46 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема закрыта по просьбе ТС

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group