2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 16:33 


26/01/15
7
Помогите придумать инварианты для диффеоморфизмов дифф. форм в $\mathbb{R}^{n}$.
Необходимо показать, что две формы не диффеоморфны в $\mathbb{R}^{n}$, а ничего кроме замкнутости и конечности/бесконечности интеграла по области придумать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 16:53 
Заслуженный участник


25/02/11
1521
Конкретные формы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 17:54 


26/01/15
7
Пример $ (x^4-x^2+y^2) dx\wedge dy$ и $ (x^2+y^2) dx\wedge dy$, но дело не в конкретных примерах, а в том, что хотелось бы знать некий набор инвариантов, вроде полиномов для узлов или гомологий для многообразий, и понять хотя бы в общих чертах какие проблемы бывают для диффеоморфизмов форм и векторных полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12939
Москва
Первая форма вырождается в 0 на линии, а вторая - в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 18:29 
Заслуженный участник


25/02/11
1521
В данном случае множества нулей разные. В правой части точка, а в левой - кривая (восьмерка). Еще инвариант - разложимость формы. В частности, если $w$ разложима (имеет вид $q_1\wedge q_2\wedge \ldots\wedge q_m$, где $q_i$ - 1-формы), то $w\wedge w=0$. В $\mathbb R^3$ все замкнутые 2-формы разложимы (локально, по крайней мере). А в $\mathbb R^4$ уже нет. Например $w=dx_1\wedge x_2+dx_3\wedge x_4$ неразложима, т.к. $w\wedge w\ne0$. Более обще, для замкнутых 2-форм есть теорема Фробениуса: $w_2=dx_1 \wedge x_2+\ldots +dx_{2m-1} \wedge dx_{2m}$ в некоторой окрестности данной точки в подходящей системе системе коодинат $x_1,\ldots,x_n$, если $m$-кратная внешная степень не равна нулю, а $m+1$-я равна нулю. Эти два наблюдения подсказывают, что инвариантами могут служить топологические инварианты множеств, на которых степени формы равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 19:10 


26/01/15
7
Благодарю за подробный ответ, только одно уточнение верно ли я понимаю, что множество нулей должно перейти в диффеоморфное множество и это связано с тем, что свертка вектора с ковектором инвариант, следовательно если форма зануляла все вектора в данной точке, то и при в образе диффеоморфизма она должна занулять все вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инварианты диффеоморфизмов
Сообщение26.01.2015, 20:50 
Заслуженный участник


25/02/11
1521
Да, по определению образа формы при диффеоморфизме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group