2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19379
Уфа
Munin в сообщении #966930 писал(а):
А Mathematica не знает, что вы ей задаёте вопрос на этом "стандартно-школьном" уровне. Она старается дать ответ, как если бы вопрос был задан на более высоком уровне.
Кстати, там, вроде, был пакет, переопределяющий большинство стандартных функций, чтобы «убрать из рассмотрения» комплексные числа. Наверно, корни и аликвотные степени при его подключении тоже переопределяются… Сделан именно с целью использовать школьно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 00:49 
Аватара пользователя


11/06/12
6813
Минск
Насчёт пакета не знаю, но в девятой версии ввели функцию Surd; как раз по обсуждаемой теме.
Munin в сообщении #966990 писал(а):
и иногда - стилистически особенными "стеклянными" буквами
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»? Ведь это начертание называется blackboard bold, по русски что-то вроде «полужирный мелом на доске».

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19379
Уфа
Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Насчёт пакета не знаю
ReIm назывался, может быть. Тогда он устаревший и больше не поставляется, пишут. Хотя загрузить отдельно можно.

Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?
Кстати, на мой вкус, неплохое!

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 01:21 
Аватара пользователя


11/06/12
6813
Минск
Точно, был такой пакет Algebra`ReIm`, но это всё быльём поросло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 08:00 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали). Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19379
Уфа
По-моему, вы смешали в один два оборота (свойства 1 выполняются на 2 и 1 замкнуто относительно функций 2). :-)

Свойства те самые, обычные. Они же не зависят от того, какую функцию мы как обозначим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62066
Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?

Понятия не имею, где-то вычитал. В студенческие годы я его не знал. А сейчас мне кажется, оно очень точно передаёт образ этих букв: стеклянная палочка выглядит примерно так же, прозрачная серединка и непрозрачные бока.

Qazed в сообщении #967064 писал(а):
Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали).

Ну так это замечательно! А чего ж тогда вы на ерунду ссылаетесь?

Qazed в сообщении #967064 писал(а):
Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

Вот это взрослый разговор. Так бы сразу.

Но боюсь, $\mathbb{R}$ замкнуто только относительно возведения в целую степень (и то неотрицательную; $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - в произвольную целую).

Если вы попытаетесь возводить действительные числа в рациональные степени, то возникнет такая загвоздка: $\tfrac{p}{q}\equiv\tfrac{pr}{qr},$ а для определения $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ подобные дроби неэквивалентны. Например, $\sqrt[2]{(-1)^2}=+1.$

С другой стороны, $\mathbb{R}_+\equiv(0,+\infty)$ замкнуты относительно возведения в любую действительную степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 18:36 
Аватара пользователя


20/06/14
236
arseniiv в сообщении #967129 писал(а):
По-моему, вы смешали в один два оборота.
Действительно, несколько двусмысленно. "Свойство", --- не лучшее, что я мог бы употребить.

Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Вопрос 4.
В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?
натуральный показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb N \colon a^k := \begin{cases} \prod^k a, & k > 0 \\ 1, & k = 0  \end{cases} \quad (1)$$
целый показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb Z \colon a^k := \begin{cases} a^k, & k > 0 \\ 1, &  a \ne 0, \; k=0 \\ 1/a^{-k}, & a \ne 0, \; k < 0 \end{cases} \quad (2) $$
арифметический корень
$$\forall a, b \in \mathbb R_+ \quad \forall n \in \mathbb N \colon a = \sqrt[n]{b} :\Leftrightarrow a^n = b \quad (3)$$
алгебраический корень
$$\forall a, b \in \mathbb R \quad \forall n \in \mathbb N \colon a := \sqrt[n]{b} \iff a^n = b \quad (4)$$
рациональный показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall m \in \mathbb Z  \quad \forall n \in \mathbb N \colon a^{m/n } := \begin{cases} \sqrt[n]{a^m}, & a > 0 \\ 0, & a=0, \; m > 0 \\ \sqrt[n]{a^m}, & a < 0, \; n = 2k+1 \; (k \in \mathbb N) \end{cases} \quad (5) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62066
Qazed в сообщении #967294 писал(а):
В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?

Определения не могут быть верны или неверны. Верны или неверны могут быть утверждения, теоремы.

-- 23.01.2015 21:32:07 --

Qazed в сообщении #967294 писал(а):
Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Я вам ответил именно на ваш вопрос, как он был задан. В чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 00:45 
Аватара пользователя


11/06/12
6813
Минск

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

Хоть режьте.
$0^0=1$
:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:20 
Аватара пользователя


11/06/12
6813
Минск
Nemiroff в сообщении #967469 писал(а):
Хоть режьте.
$0^0=1$
Резать не буду. Просто объясните: почему именно так. (И я не утверждал, что настаиваю на обратном.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

Aritaborian, мы уже с вами по этому несомненно важнейшему вопросу современной математики спорили. :mrgreen:
topic80260.html
Почитал, вспомнил. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:38 
Аватара пользователя


11/06/12
6813
Минск

(Оффтоп)

Спасибо за напоминание. Я вот не вспомнил об этом споре, каюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение25.01.2015, 18:35 
Аватара пользователя


20/06/14
236

(Оффтоп)

Интереса ради: как бы Вы оформили этот вопрос?
Aritaborian в сообщении #967467 писал(а):

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group