2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональный анализ. Продолжение функционала на L2
Сообщение23.01.2015, 20:00 


23/01/15
1
Подскажите по задачке:
В $L^2[0,1]$ на подпространстве $M$ многочленов степени не выше первой задан функционал $f(x(t))=x(1)$. Найти продолжение $f$ на $L^2$ с сохранением нормы.

Функционал $f$ ставит в соответствие каждому полиному вида $x(t)=a+bt$ число $a+b$. Нашел я норму $f$ на $M$ - она равна 2. Далее, по одной из теорем Рисса сопряженное к гильбертову есть гильбертово, а значит любой линейный непрерывный функционал $g$ представим в виде скалярного произведения $g(x)=(x(t), \phi(t)) = \int_0^1x(t)\phi(t)dt$, причем $\| g \|= \| \phi \|$. Имеем 2 условия:
$\int_0^1(a+bt)\phi(t)dt=a+b$ (ограничение $g$ на $M$ должно равняться $f$)
$\|g\|^2=\int_0^1\phi^2(t)dt=\|f\|^2=4$

Как быть дальше? Как подбирать эту $\phi$?

Начал копать в сторону обобщенных функций, как я понял, раз дельта функция - это функционал в пространстве основных функций, то она же является и функционалом в $L^2$, а значит, ему должен соответствовать какой-то элемент $L^2$. Но, не очень понятно, что это за элемент, или что такое норма дельта функции в $L^2$ и как сделать её равной 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный анализ. Продолжение функционала на L2
Сообщение24.01.2015, 07:02 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
Konig в сообщении #967335 писал(а):
раз дельта функция - это функционал в пространстве основных функций, то она же является и функционалом в $L^2$,

В точности наоборот: раз первое, то никак не второе (т.е. как минимум не следует, ну и заведомо неверно).

А вот про Рисса это Вы удачно вспомнили. Коль скоро уж $M$ -- воистину подпространство, да к тому же и сильно конечномерное, то именно в нём и ищите ту функцию, которая задаёт этот функционал.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group