2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ошибка полиномиальной интерполяции
Сообщение22.01.2015, 23:00 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Проверьте, пожалуйста, правильность доказательства теоремы:

Теорема (об ошибке полиномиальной интерполяции).
Пусть $f\left( x \right)$ — функция из ${{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$ и пусть $p\left( x \right)$ — полином степени $n$, который интерполирует функцию $f\left( x \right)$ в $n+1$ отличной друг от друга точке ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}\in \left[ a,b \right]$. Пусть $g\left( x \right)$ — так же функция из ${{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$, которая в указанных точках интерполяции (и только в них на отрезке $\left[ a,b \right]$) обращается в нуль, а её производная ${{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( x \right)$ отлична от нуля всюду на отрезке $\left[ a,b \right]$. Тогда для любой точки $x\in \left[ a,b \right]$ существует такая точка $\xi \in \left[ a,b \right]$, что:$$\[f\left( x \right)-p\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)}{{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)}g\left( x \right)\]$$Доказательство.
Если точка $x$ является одной из точек интерполяции ${{x}_{k}}$, то правая и левая части равенства обращаются в нуль, и утверждение теоремы истинно. Теперь предположим, что $x\ne {{x}_{k}}$, $k=\overline{0,n}$. Введём функцию$$\varphi \left( t \right)=f\left( t \right)-p\left( t \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}g\left( t \right)$$Функция $\varphi \left( t \right)\in {{C}^{n+1}}\left[ a,b \right]$, а так же обращается в нуль в $n+2$ отличных друг от друга точках: в точках интерполяции и в точке $x$. По теореме Ролля производная ${\varphi }'\left( t \right)$ обращается в нуль в $n+1$ различной точке. Кроме того, производная ${\varphi }'\left( t \right)\in {{C}^{n}}\left[ a,b \right]$, следовательно, так же удовлетворяет теореме Ролля, и вторая производная ${\varphi }''\left( t \right)$ обращается в нуль в $n$ различных точках. Продолжая таким образом получим, что на отрезке $\left[ a,b \right]$ существует такая точка, назовём её $\xi $, в которой производная ${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)$ обращается в нуль. Выражение для производной:$${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)={{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)-{{p}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)$$Но $p\left( x \right)$ — полином степени $n$, поэтому ${{p}^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)\equiv 0$, и:$${{\varphi }^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)={{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)-\frac{f\left( x \right)-p\left( x \right)}{g\left( x \right)}{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)=0$$Отсюда окончательно получаем:$$f\left( x \right)-p\left( x \right)=\frac{{{f}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)}{{{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( \xi  \right)}g\left( x \right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка полиномиальной интерполяции
Сообщение23.01.2015, 06:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4590
Нов-ск
Смотрите, например, "А.М. Островский. Решение уравнений и систем уравнений." Это теорема об отношении функций, имеющих общие корни.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка полиномиальной интерполяции
Сообщение23.01.2015, 15:01 
Аватара пользователя


26/05/12
477
приходит весна?
Спасибо, там действительно есть похожая, но чуть более общая теорема. На самом деле приведённая мной теорема и доказательство практически полностью скопированы отсюда. Я только вместо фиксированной функции $$\begin{matrix}
  g\left( x \right)=\prod\limits_{k=0}^{n}{\left( x-{{x}_{k}} \right)} \\ 
  {{g}^{\left( n+1 \right)}}\left( x \right)\equiv \left( n+1 \right)! \\ 
\end{matrix}$$ попытался взять произвольную, но чтобы теорема оставалась в силе. Значит, я всё правильно сделал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group