2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Анализ: минимум функции 2-х переменных.
Сообщение21.01.2015, 22:43 


21/01/15
3
Найти минимум функции:

$f(x, y) = \sqrt{x^2 - 39x + 507} + \sqrt{y^2 - 138y + 6348} + \sqrt{x^2 -xy + y^2}$

Если считать на прямую (система уравнений первых частных производных равных нулю, вторые частные производные и т.д) то получается очень долго и муторно хотя к ответу в конце приходишь:

$x_{min} = \frac {598}{35}, y_{min} = \frac {299}{12}, f_{min} = 93$

Оказывается есть путь легче, через тригонометрию как-то. Вопрос в том - как?

Значит, я сначала пытался выделить полный квадрат в первых двух корнях:

$x = \frac {39}{2} + \frac{\sqrt{507}}{2}\tg(u)$

$y = 69 + \sqrt{1587}\tg(v)$

и использовать новые переменные $u$ и $v$. Тогда первые два корня исчезают но выражение в третьем корне становится громоздким и неудобным.

Потом я заметил что числа во всех трёх выражениях подобраны так что их можно переписать в форме теоремы косинусов:

$x^2 - 39x + 507 = x^2 + \sqrt{507}^2 - 2x\sqrt{507}\cos 30$

$y^2 - 138y + 6348 = y^2 + \sqrt{6348}^2 - 2y\sqrt{6348}\cos 30$

$x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos 60$

То есть каждое подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата "третьей стороны", но не понятно что это даёт.

Кто-нибудь может предложить как проще такой минимум посчитать. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: минимум функции 2-х переменных.
Сообщение21.01.2015, 22:59 


19/05/10
3835
Россия
Очевидно же: 30+30=60)
Известная задача.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И., Факультативный курс по математике. Решение задач, 11 кл., 1991
11 разобранная задача в 5 параграфе

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: минимум функции 2-х переменных.
Сообщение22.01.2015, 00:26 


21/01/15
3
А, понятно. Значит никаких производных вообще считать не надо. Надо только построить треугольник со сторонами $\sqrt{507}$ и $\sqrt{6348}$ и с углом 120 градусов между ними. Третью сторону можно посчитать по теореме косинусов, останется тольно найти $x$ и $y$ и т.д.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: минимум функции 2-х переменных.
Сообщение22.01.2015, 01:05 


19/05/10
3835
Россия
Да, после этой хитрости все просто (относительно).

(Оффтоп)

Надеюсь народ понял, что 30+30=60 это шутка, точнее я ошибся) 30+30+60 так правильнее

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ: минимум функции 2-х переменных.
Сообщение22.01.2015, 05:24 


21/01/15
3
Да, длина третьей стороны и будет минимумом выражения, по теореме косинусов это $93$. И в этом треугольнике будет два угла по $90$ градусов: между $\sqrt {507}$ и $y$ и между $\sqrt {6348}$ и $x$. Тогда $x$ и $y$ будут высотами и через равенство площади самой себе находим ещё одну связь между ними:

$y \times \sqrt {507} = x \times \sqrt {6348}$

Ну и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group