2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 11:46 


12/11/11
61
Сколько существует формул разностных производных второго порядка? Я смотрел в интернете, нашел три - дважды "назад", дважды "вперёд" и дважды "по центру". Есть ли ещё варианты?

Также помогите разобраться, как выводятся смешанные разностные ч. п. второго порядка. Пытался понять и запутался, может там, где я смотрел, есть ошибки.

Есть сеточная область $x_i = x_0 + ih_1& $y_j = y_0 + jh_2$. Рассмотрим функцию $u_i_j = f (x_i,y_j)$

$  u_x_y  =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $


для правых, левых и центральных ч. п. соответственно.

Не понимаю, как эти i и j меняются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6533
Hogtown
Вторая производная это результат применения двух первых. Стандартно для первой производной используют 3 варианта: вперед, назад, по-центру. Соответственно для смешанной второй будет $3\times3=9$ вариантов (вкл вперед по $x$, назад по $y$). Разумеется, для первой есть еще менее стандартные варианты (включая многоточечные)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
Прежде чем считать варианты неплохо бы определиться с размером шаблона. Иначе результаты разных авторов могут сильно не совпасть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:10 
Заслуженный участник


11/05/08
30751
SteelRend в сообщении #964742 писал(а):
$  u_x_y  =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_+_1_,_j-u_i_,_j_+_1+u_i_,_j }{h_1h_2} $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_,_j-u_i_-_1_,_j-u_i_,_j_-_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ h_1 h_2 } $

$ u_x_y   =  \frac{ u_i_+_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1-u_i_-_1_,_j_+_1+u_i_-_1_,_j_-_1}{ 4 h_1 h_2 } $

Зависит от того, к какой точке они приписываются.

Первые две -- к некоей полуцелой, третья -- к некоей целой.

Впрочем, это если лишь хочется поиметь второй порядок точности. Если же хватит и первого порядка, то какая разница -- все сойдут.

В любом случае лучше опираться не на учебнические авторитеты, а на здравый смысл. С точки зрения здравого смыслы все три формулы вполне прозрачны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
ewert в сообщении #965202 писал(а):
здравый смысл

Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора. А то ведь, здравый смысл, он у каждого свой... и не всегда здравый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:40 
Заслуженный участник


11/05/08
30751

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #965206 писал(а):
Да скажем без обиняков: разложение в ряд Тейлора.

Не скажем: Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

А вот соображения здравого смысла -- в том, что касается аппроксимаций первого порядка -- универсальны абсолютно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разностные производные
Сообщение19.01.2015, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
ewert в сообщении #965217 писал(а):
Тейлор тут далеко не всегда при чём. Т.е. Тейлор -- далеко не универсальный и далеко не всегда идейный способ получения подобных аппроксимаций.

Сфигли? Пруф или ниачом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group