2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Операторный ряд
Сообщение16.01.2015, 19:52 
Аватара пользователя


28/04/14
618
матмех спбгу
Пусть $X$ банахово пространство над полем комплексных чисел, $A: X \to X$ - линейный непрерывный оператор.
Рассмотрим $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$, где $t \in \mathbb{C}.$ Легко показать, что он сходится по операторной норме.
Нужно доказать, что существует предел $f'(t) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ (понимается в смысле сходимости операторов по операторной норме).

Я могу показать, что для всякой $h_{n} \to 0$ соответствующая последовательность $\frac{f(t+h_n)-f(t)}{h_n}$ фундаментальна. Но из этого вроде как не следует существование предела: мало ли для разных последовательностей $h_n$ получатся разные операторы (или в данном случае такого не может быть?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный ряд
Сообщение16.01.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12937
Москва
demolishka в сообщении #963284 писал(а):
Пусть $X$ банахово пространство над полем комплексных чисел, $A: X \to X$ - линейный непрерывный оператор.
Рассмотрим $f(t) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{t^k}{k!}A^k$, где $t \in \mathbb{C}.$ Легко показать, что он сходится по операторной норме.
Нужно доказать, что существует предел $f'(t) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ (понимается в смысле сходимости операторов по операторной норме).

Я могу показать, что для всякой $h_{n} \to 0$ соответствующая последовательность $\frac{f(t+h_n)-f(t)}{h_n}$ фундаментальна. Но из этого вроде как не следует существование предела: мало ли для разных последовательностей $h_n$ получатся разные операторы (или в данном случае такого не может быть?).
Если на разных послед-стях будут разные пределы, то какой предел будет на последовательности-смеси этих двух? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный ряд
Сообщение16.01.2015, 20:08 
Аватара пользователя


28/04/14
618
матмех спбгу
Спасибо :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный ряд
Сообщение17.01.2015, 16:04 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Производная как-бы явно вырисовывается. И доказывать сходимость именно к ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный ряд
Сообщение18.01.2015, 21:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31275
Для степенных рядов от операторов всё очень мало отличается от случая обычных числовых. В частности, сохраняется понятие "радиуса сходимости": если спектральный радиус оператора меньше его, то ряд сходится (притом равномерно, если с заппасом), если же больше -- то извините. Ну а тут радиус сходимости равен бесконечности, так что о чём и говорить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group