2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение17.01.2015, 18:29 


17/01/15
5
Привести пример мартингала $ (X_t)_{t=0}^\infty $ такого, что $ (X_t)$ не является процессом с независимыми приращениями

Пусть $\xi_n, n\in\mathbb{N}$ - независимые действительные величины и $E\xi_n = 1\ \forall n. & Пусть также $X_n = \prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k, \mathcal{F}_n =\sigma(\xi_1, ..., \xi_n), n \in\mathbb{N}.$ Тогда $(X_n, \mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ - мартингал, т.к, очевидно, $E|X_n| < \infty$ и $E[X_{n+1}|X_1, ..., X_n] = X_n$.
Далее проверим независимость приращений, т.е положим $n > m$ и расмотрим $P(X_n - X_{n-1} \in A, X_m - X_{m-1} \in B).$
Это равно:
$\\P(\prod\limits_{k=1}^{n}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k\in A, \prod\limits_{k=1}^{m}\xi_k - \prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\xi_k \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) =\\ P((\xi_n - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\prod\limits_{j=m}^{n-1}\xi_j \in A, (\xi_m - 1)\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k \in B) $
Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.
На первый взгляд, кажется правильно, но не уверен

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.01.2015, 18:37 
Модератор


20/03/14
7350
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.01.2015, 23:25 
Модератор


20/03/14
7350
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3888
dnlnzrv в сообщении #963643 писал(а):
Случайная величина $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in C$\subseteq\mathbb{R}^{m-1}\Rightarrow A\cap B = C $ - это значит, что приращения зависимы.

В этой фразе почти нет верных высказываний.
1) Никакого $C$ нет.
2) $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in \mathbb R\not\subseteq\mathbb{R}^{m-1}$.
3) Из того, что выполнены оба события под знаком последней вероятности, никак не следует, что $\prod\limits_{k=1}^{m-1}\xi_k\in A\cap B$, так же как и наоборот.

Вы же пример строите - к чему такая общность? Возьмите конкретные случайные величины с максимально простыми распределениями, конкретные максимально маленькие $n$ и $m$ и конкретные $A$ и $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:02 


17/01/15
5
Но нужно же доказать независимость любых приращений, если я возьму какие-то минимальные m и n, то буду доказывать для конкретного приращения, а это частный случай, разве не так? И второй вопрос: верно ли вообще выбран пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:14 
Заслуженный участник


09/05/13
6368
dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):
а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 01:19 


17/01/15
5
Otta в сообщении #963911 писал(а):
dnlnzrv в сообщении #963908 писал(а):
а это частный случай, разве не так?

А разве пример - это общий случай?


Я имел ввиду, что я не имею права брать конкретные n и m, иначе буду доказывать, что конкретные два приращения независимы. А нужно показать, что любые приращения независимы.

-- 18.01.2015, 01:57 --

Я понял. Нужно же показать, что не является процессом с независимыми приращениями

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 16:13 


17/01/15
5
Пусть $\forall n\in \mathbb{N}\ \xi_n = \left\{
\begin{array}{rcl}
 &2,\ P = \frac{1}{2}& \\
 &0,\ P = \frac{1}{2}& \\
\end{array}
\right. $
Тогда, очевидно $E\xi_n = 1$
Возьмем $n  = 2, m = 1.$ Тогда
$\\P(X_n - X_{n-1}\in A, X_m - X_{m-1}\in B) = P(X_2-X_1\in A, X_1\in B) =\\ P(\xi_1(\xi_2-1)\in A,\xi_1\in B)$
Пусть теперь $B=\left\lbrace0\right\rbrace, A = \left\lbrace2\right\rbrace $. Получим
$0 = P(\xi_1(\xi_2-1) = 2,\xi_1 = 0) \ne P(\xi_1(\xi_2-1) = 2)\cdot P(\xi_1 = 0)$ = $\frac{1}{4}$$\cdot$$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$
Следовательно, эти два приращения зависимы. Значит мартингал $(X_n)_{n=0}^\infty$ не является процессом с независимыми приращениями.

Теперь вроде правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу по случайным процессам
Сообщение18.01.2015, 20:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3888
Да, конечно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group