2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение06.04.2014, 08:37 


07/01/11
55
Всем привет! Помогите, пожалуйста, с задачкой по Защите Информации.

Укажите, при каких условиях (при каких $n$ и $k$) процедура:
$$
c_i = \sum_{j=1}^k p_{(i + j) \mod n} \mod 33
$$
реализует взаимно-однозначное отображение $
(p_1, p_2, \dots, p_n) \mapsto (c_1, c_2, \dots, c_n)
$.

В случае $n = 6, k = 3$ отображение задаётся матрицей
$$
c = p A_{nk} = p
\left (
\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right )
$$

Я посчитал ранги и определители таких матриц, чтобы найти каку-то закономерность.

Определители:
$$
\begin{tabular}{c|cccccccccccc}
& \multicolumn{12}{c}{k} \\
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline
12 & -1 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 & -7 & 0 & 0 & 0 & -11 & 0 \\
11 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 0 \\
10 & -1 & 0 & -3 & 0 & 0 & 0 & -7 & 0 & -9 & 0 \\
9 & 1 & 2 & 0 & 4 & 5 & 0 & 7 & 8 & 0 \\
8 & -1 & 0 & -3 & 0 & -5 & 0 & -7 & 0 \\
7 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\
6 & -1 & 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\
5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
4 & -1 & 0 & -3 & 0 \\
3 & 1 & 2 & 0 \\
2 & -1 & 0 \\
1 & 1 \\
\end{tabular}
$$

Ранги:
$$
\begin{tabular}{c|cccccccccccc}
& \multicolumn{12}{c}{k} \\
n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline
12 & 12 & 11 & 10 & 9 & 12 & 7 & 12 & 9 & 10 & 11 & 12 & 1 \\
11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 11 & 1 \\
10 & 10 & 9 & 10 & 9 & 6 & 9 & 10 & 9 & 10 & 1 \\
9 & 9 & 9 & 7 & 9 & 9 & 7 & 9 & 9 & 1 \\
8 & 8 & 7 & 8 & 5 & 8 & 7 & 8 & 1 \\
7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 1 \\
6 & 6 & 5 & 4 & 5 & 6 & 1 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 1 \\
4 & 4 & 3 & 4 & 1 \\
3 & 3 & 3 & 1 \\
2 & 2 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{tabular}
$$

Я посмотрел на эти картинки и понял, что матрица должна быть обратима если и только если $n$ и $k$ взаимно просты.

Но доказать смог только то, что если $k$ нетривиально делит $n$, то следующие строки матрицы являются ленийно зависимыми:

$$
\begin{aligned}
& (\underbrace{1, 1, \dots, 1}_k, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - k}) &
& (0, \underbrace{1, 1, \dots, 1}_k, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - k - 1}) \\
& (\underbrace{0, 0, \dots, 0}_{k}, \underbrace{1, 1, \dots, 1}_k, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - 2k}) &
& (\underbrace{0, 0, \dots, 0}_{k + 1}, \underbrace{1, 1, \dots, 1}_k, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - 2k - 1}) \\
& \dots & & \dots \\
& (\underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - k}, \underbrace{1, 1, \dots, 1}_k) &
& (1, \underbrace{0, 0, \dots, 0}_{n - k}, \underbrace{1, 1, \dots, 1}_{k - 1}) \\
\end{aligned}
$$

(сумма строк слева равна сумме строк справа и равна $(1, 1, \dots, 1)$)

Помогите, пожалуйста, доказать, что
$$A_{n k} - \text{обратима} \Leftrightarrow (n, k) = 1$$

И ещё есть маленький вопросик. Мы работаем с матрицами над кольцом $\mathbb Z_n$. Остаются ли верными всякие утверждения, связанные с делимостью, определителями и линейной независимостью для кольца, когда кольцо не является полем?

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение06.04.2014, 09:29 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
У вас какое кольцо, $\mathbb{Z}_{33}$ или нет?

Bars в сообщении #846040 писал(а):
Мы работаем с матрицами над кольцом $\mathbb Z_n$. Остаются ли верными всякие утверждения, связанные с делимостью, определителями и линейной независимостью для кольца, когда кольцо не является полем?

Какие-то сохраняются, какие-то нет. Например, матрица обратима, если ее определитель является обратимым элементом кольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение06.04.2014, 09:38 


07/01/11
55
Кольцо у нас, получается, $\mathbb Z_{33}$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение06.04.2014, 11:17 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Тогда это утверждение
Bars в сообщении #846040 писал(а):
матрица должна быть обратима если и только если $n$ и $k$ взаимно просты

не совсем верно. Точнее еще оно условие на $k$ должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение17.01.2015, 21:31 


07/01/11
55
AV_77 в сообщении #846088 писал(а):
условие на $k$ должно быть.

Не знаю, какое. В приведённой таблице определителей его можно увидеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение18.01.2015, 18:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Можно, если вспомнить, что кольцо $\mathbb{Z}_{33}$, а в нем не все элементы обратимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: При каких условиях такая ленточная матрица обратима?
Сообщение18.01.2015, 19:35 


07/01/11
55
Ах да, 33 дложно быть взаимно просто с $k$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group