2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение14.01.2015, 04:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
bayak в сообщении #961563 писал(а):
Немного наврал - гиперболический угол на полосе не равен соответствующему углу на плоскости.

А как должно быть правильно ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение14.01.2015, 18:21 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
На плоскости гиперболический угол будет равен $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)$, где $|t|<1$, что отличается от вышеприведенного значения угла на полосе.

И вообще всё я напутал - вектор на полосе никак не связан с вектором на плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение16.01.2015, 21:12 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #961424 писал(а):
Тогда вот Вам ещё одна геометрическая интерпретация функции Гудермана. Возьмём псевдоевклидову плоскость $(x,t)$, свернём её в трубочку $\left(x,e^{i\frac{\pi}{2}t}\right)$ и спроектируем эту трубочку на полосу $(x,y)$, где $y=\sin\frac{\pi}{2}t$. Тогда прямые псевдоевклидовой плоскости отобразятся в пилообразные ломаные, но модули гиперболических углов наклона прямых к оси $x$ сохраняются и на полосе. Таким образом, угол
$$\rm{arcgd}\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin\frac{\pi}{2}t}{1-\sin\frac{\pi}{2}t}\right)$$
следует интерпретировать как гиперболический угол наклона вектора $\vec{c}=(1,\sin\frac{\pi}{2}t)$ полосы $(x,y)$ и соответствующего вектора плоскости $(x,t)$ к оси $x$.

А сворачивая псевдоевклидову плоскость в тор, можно получить двумерное обобщение обратной функции Гудермана
$$\rm{arcgd}(x,t)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos x+\sin t}{\cos x-\sin t}\right),$$
и интересно было бы получить комплексно-аналитическое расширение этой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение16.01.2015, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
bayak в сообщении #963319 писал(а):
bayak в сообщении #961424 писал(а):
Тогда вот Вам ещё одна геометрическая интерпретация функции Гудермана. Возьмём псевдоевклидову плоскость $(x,t)$, свернём её в трубочку $\left(x,e^{i\frac{\pi}{2}t}\right)$ и спроектируем эту трубочку на полосу $(x,y)$, где $y=\sin\frac{\pi}{2}t$. Тогда прямые псевдоевклидовой плоскости отобразятся в пилообразные ломаные, но модули гиперболических углов наклона прямых к оси $x$ сохраняются и на полосе. Таким образом, угол
$$\rm{arcgd}\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin\frac{\pi}{2}t}{1-\sin\frac{\pi}{2}t}\right)$$
следует интерпретировать как гиперболический угол наклона вектора $\vec{c}=(1,\sin\frac{\pi}{2}t)$ полосы $(x,y)$ и соответствующего вектора плоскости $(x,t)$ к оси $x$.

А сворачивая псевдоевклидову плоскость в тор, можно получить двумерное обобщение обратной функции Гудермана
$$\rm{arcgd}(x,t)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{\cos x+\sin t}{\cos x-\sin t}\right),$$
и интересно было бы получить комплексно-аналитическое расширение этой функции.

Очень интересный результат.
Мне в итоге представляется, что тогда с помощью этих функций пространства,описываемые с помощью комплексных,двойных и гиперкомплексных и гипердвойных чисел можно описать только действительными числами...
Или я ошибаюсь ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение16.01.2015, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Кстати, комплексное число тоже можно описать действительными числами. Причём, ровно двумя. Это очень интересный результат. Не ясно только, что же из него следует...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #963400 писал(а):
Кстати, комплексное число тоже можно описать действительными числами. Причём, ровно двумя. Это очень интересный результат. Не ясно только, что же из него следует...

Это азы.
Есть ещё двойные числа,есть дуальные (правда, у них там с нулём особенности ). Они тоже парами чисел выражаются.
момент в том, что там есть ещё особая единица -$\xi $ квадрат которой -1,0,+1. Вот обойтись без неё было бы любопытно....

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
PSP в сообщении #963406 писал(а):
Это азы.
Нет, это сарказм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 00:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
PSP в сообщении #963406 писал(а):
момент в том, что там есть ещё особая единица -$\xi $ квадрат которой -1,0,+1. Вот обойтись без неё было бы любопытно....
Почему особая? $(0,1)$ это, и только.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #963407 писал(а):
PSP в сообщении #963406 писал(а):
Это азы.
Нет, это сарказм.

И это тоже есть.
Если же без этих психологических моментов, то вопрос можно сформулировать так :
Можно ли числовую систему пар $\left\lbraceф a,b \right\rbrace$ отобразить в $\left\lbrace a \right\rbrace$,за счёт усложнения функций ?
Может, я несколько неуклюже выразился ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 01:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Явно. Упорядоченные пары обычно обозначают $(a,b)$, а фигурные скобки обычно обозначают множества, но всё равно вопрос непонятно в чём. Вообще, любую функцию $f\colon A\times B\to C$ можно преобразовать в единственную $g\colon A\to C^B$, где $C^B$ — множество функций из $B$ в $C$, удовлетворяющую соотношению $f(a, b) = g(a)(b)$, это называется каррированием (currying). Так что любую функцию $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ можно превратить в функцию вещественного аргумента $g\colon\mathbb R\to\mathbb C^{\mathbb R}$, которую, в свою очередь, можно разделить на две — одна выдаёт действительную часть результата, другая мнимую (у этого преобразования функции $A\to B\times C$ в пару функций $A\to B$ и $A\to C$ особого названия нет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
PSP в сообщении #963416 писал(а):
Можно ли числовую систему пар $\left\lbraceф a,b \right\rbrace$ отобразить в $\left\lbrace a \right\rbrace$,за счёт усложнения функций ?
Да это запросто: $\left\{ {a,b} \right\} \mapsto \left\{ a \right\}$. Всё, отобразили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 01:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А вообще карринг я зря упомянул, он здесь ни к чему: к функциям нескольких аргументов все привычны. А функция нескольких аргументов ведь есть функция от кортежа. $\sin(1+2i)$ — это ни что иное как $\sin(1,2)$. Просто делим его на две части $\sin_\mathrm{Re},\sin_\mathrm{Im}\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$.

-- Сб янв 17, 2015 03:09:23 --

Хотя да, телепатить не стоит. Лучше подождать уточнений вопроса от PSP. Может, всё банальнее…

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Гудермана
Сообщение17.01.2015, 02:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
arseniiv в сообщении #963437 писал(а):
А вообще карринг я зря упомянул, он здесь ни к чему: к функциям нескольких аргументов все привычны. А функция нескольких аргументов ведь есть функция от кортежа. $\sin(1+2i)$ — это ни что иное как $\sin(1,2)$. Просто делим его на две части $\sin_\mathrm{Re},\sin_\mathrm{Im}\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$.

-- Сб янв 17, 2015 03:09:23 --

Хотя да, телепатить не стоит. Лучше подождать уточнений вопроса от PSP. Может, всё банальнее…

arseniiv прав,всё банально.Я в своё время как-то считал, что в физике желательно обходиться без комплексных и т.п. чисел, оперируя только вещественными числами Ну и применяя факт равномощности квадрата и отрезка, везде заменять пары чисел одним числом, но более с хитрыми функциями.Поэтому Функция Гудермана мне и понравилась.
Сейчас отношусь к этому более спокойно.
Поэтому сию тему можно закрыть.Она имела скорее даже психологическое значение,чем математическое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group