2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение15.01.2015, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1176
Москва
Оператор Ходжа мне известен.
Сходил по ссылке. Red_Herring, там про оператор, сопряжённый оператору внешнего дифференцирования, с помощью которого фактически формула Стокса формулируется - так? Он ставит в соответствие $k$-мерной цепи $(k-1)$-мерную цепь.

g______d, т.е. это то, что у Новикова и Тайманова в "Современных геометрических структурах и полях" называется ограничением на образ отображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение15.01.2015, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6641
Hogtown
Metford в сообщении #962368 писал(а):
Сходил по ссылке. Red_Herring, там про оператор, сопряжённый оператору внешнего дифференцирования, с помощью которого фактически формула Стокса формулируется - так? Он ставит в соответствие $k$-мерной цепи $(k-1)$-мерную цепь.

Ну, для Стокса нужен только $d$. А вот для определения Лапласиана на формах нужны оба.

Но g______d, скорее всего прав: там вовсе не этот оператор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение15.01.2015, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1176
Москва
Ясно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение15.01.2015, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4253
Metford в сообщении #962368 писал(а):
g______d, т.е. это то, что у Новикова и Тайманова в "Современных геометрических структурах и полях" называется ограничением на образ отображения?


Да, на странице 273 это объясняется, в том числе и гауссово отображение.

(Оффтоп)

Правда, я так и не понял, почему они обратный образ называют ограничением на образ; это же на самом деле перенос на прообраз. Кроме того, вводят эту операцию в точке (теорема 8.4), но не обсуждают, как она действует на тензорные или векторные поля. А это важный момент, в котором есть некоторая асимметрия: если $f\colon M\to N$, то $f^*$ переносит $k$-формы с $N$ на $M$. Но при этом нет естественного отображения, переносящего векторные поля с $M$ на $N$. И наоборот, $f$ индуцирует морфизм касательных расслоений $TM\to TN$, но не индуцирует морфизма кокасательных расслоений ни в какую сторону.

Это связано с тем, что векторное поле — это одновременно "ко" и "контра" - объект. Это функция, т. к. точке сопоставляется вектор. Функции отображаются в обратную сторону. С другой стороны, это дифференцирование алгебры функций, поэтому должно отображаться в сторону, противоположную той, в которую отображаются функции. Поэтому отдельные касательные векторы отображаются в прямом направлении, а векторные поля нет: если $f(x)=f(y)=z\in N$, то непонятно, какой из двух векторов брать в точке $z$: пришедший из точки $x$ или из точки $y$.

С формами такого не возникает, т. к. там обе части отображаются в одну и ту же сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от модуля гауссовой кривизны
Сообщение15.01.2015, 02:55 


29/08/13
222
g______d в сообщении #962361 писал(а):
Здесь

очевидно, словом "кодифференциал" обозначается обратный образ (pullback) формы: если $f\colon M\to N$, то $f^*\colon C^{\infty}(\wedge^k T^*N)\to C^{\infty}(\wedge^k T^*M)$.

Кодифференциалом его называть, вообще, не принято.

Да, это он. Я заимствовал это название у П. Олвера в его "Applications of Lie groups to differential equations" но похоже оно и правда не общепринято.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group