2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория Галуа
Сообщение12.01.2015, 14:04 


28/05/12
203
1)Дано поле $Q(i,\sqrt{3})$. Найти все такие $n$, что все корни $x^{n}-1$ лежат в этом поле. Я думаю что там могут лежать только такие корни из единицы $1,-1,i,-i,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, если это верно, то как показать что других корней нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение12.01.2015, 14:35 
Заморожен


20/12/10
5623
Можно воспользоваться тем, что первообразный корень $n$-й степени из единицы как алгебраическое число имеет степень $\varphi(n)$ (функция Эйлера). Степень расширения $\mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$ над $\mathbb{Q}$ также известна и равна ... чему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение12.01.2015, 15:32 


28/05/12
203
$|Q(\sqrt{3},i):Q|=|Q(\sqrt{3}):Q||Q(\sqrt{3},i):Q(\sqrt{3})|=4$ Только я что то не понял как это использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение12.01.2015, 15:40 
Заморожен


20/12/10
5623
Почти для всех $n$ имеем $\varphi(n)>4$. Осталось найти эти исключительные значения $n$ и проверить их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 01:50 


28/05/12
203
Понятно, получается $n = 12$.
Еще одна задачка: Пусть $A=<a>$, $|a|=12$, какие могут быть группы $B$ и $C$, что $A=B \times C$?
По определению прямого произведения $A$ и $B$ должны быть подгруппами $G$, тогда по теореме Лагранжа их порядок должен делить 12, т.е возможные порядки: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Наверное условие цикличности позволяет выкинуть некоторые порядки, но я не могу понять как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 04:15 


28/05/12
203
Блин я обозначения напутал, должно быть По определению прямого произведения $B$ и $C$ должны быть подгруппами $A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 11:01 
Заслуженный участник


27/06/08
3093
Волгоград
Slow в сообщении #960510 писал(а):
1)Дано поле $Q(i,\sqrt{3})$. Найти все такие $n$, что все корни $x^{n}-1$ лежат в этом поле. Я думаю что там могут лежать только такие корни из единицы $1,-1,i,-i,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, если это верно, то как показать что других корней нет?

Не многовато ли у Вас действительных корней из 1 получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 11:38 


28/05/12
203
VAL в сообщении #961126 писал(а):
Не многовато ли у Вас действительных корней из 1 получилось?

А это я $i$ потерял конечно же, извиняюсь.
Еще такая задачка попалась:
Чему изоморфна фактор группа $S_4/K_4$, где $K_4$ это группа Клейна.
Понятно что она будет изоморфна сама себе, но наверное нужно найти другие группы. Так как тут речь идет о изоморфизме фактор группы мне кажется можно использовать теорему о гомоморфизме, но тогда не понятно какой брать гомоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 12:50 
Заслуженный участник


27/06/08
3093
Волгоград
Slow в сообщении #961142 писал(а):
VAL в сообщении #961126 писал(а):
Еще такая задачка попалась:
Чему изоморфна фактор группа $S_4/K_4$, где $K_4$ это группа Клейна.
Понятно что она будет изоморфна сама себе, но наверное нужно найти другие группы. Так как тут речь идет о изоморфизме фактор группы мне кажется можно использовать теорему о гомоморфизме, но тогда не понятно какой брать гомоморфизм.

Выясните, сколько элементов в факторгруппе. Какие бывают группы (с точностью до изоморфизна) из такого числа элементов?

PS: Лучше не обсуждать разные задачи в рамках одной темы, а заводить для новой задачи новую тему.

-- 13 янв 2015, 12:57 --

Slow в сообщении #961012 писал(а):
Еще одна задачка: Пусть $A=<a>$, $|a|=12$, какие могут быть группы $B$ и $C$, что $A=B \times C$?
По определению прямого произведения $A$ и $B$ должны быть подгруппами $G$, тогда по теореме Лагранжа их порядок должен делить 12, т.е возможные порядки: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Наверное условие цикличности позволяет выкинуть некоторые порядки, но я не могу понять как.
Рассматривать одноэлементную группу прямым сомножителем не нужно (второй сомножитель будет изоморфен исходной группе).
Из оставшихся случаев в одном, как Вы и предполагали, нельзя получить в качестве прямого произведения циклическую группу порядка 12. Там просто не возникнет элементов порядка 12. Подумайте в каком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Галуа
Сообщение13.01.2015, 19:24 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5678
 i 
Slow в сообщении #961142 писал(а):
Еще такая задачка попалась:
Чему изоморфна фактор группа $S_4/K_4$, где $K_4$ это группа Клейна.
Slow, новые вопросы оформляйте в виде новых тем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group