Kras, я покажу, как это делается для рефлексивности, а остальное Вы сделаете сами.
Прежде всего, определение рефлексивности лучше написать без сокращений:
отношение
на множестве
рефлексивно, если
.
Пусть
.
Если
, то существует элемент
, и для этого
высказывание
ложно, поэтому импликация
ложна (ведь
истинно), поэтому и всё высказывание
ложно, то есть, пустое отношение
не рефлексивно.
Если же
, то высказывание
ложно, поэтому импликация истинна для любого
, то есть, наше отношение рефлексивно (но оно, очевидно, является единственным отношением на пустом множестве; впрочем, модели на пустом множестве обычно не рассматриваются, и по умолчанию предполагается, что
).
Остальные свойства аккуратно рассмотрите сами.