2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 15:23 


11/01/15
3
В теореме о сумме вычетов для функции, аналитической в расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, включая бесконечно удаленную, утверждается, что полная сумма вычетов во всех изолированных особых точках равняется нулю.
Нам предложили сформулировать и доказать теорему о сумме вычетов функции в присутствии точки, предельной для полюсов, в частности, найти такой вид функций, для которых бы эта теорема выполнялась. Привели пример функции, у которой, очевидно, есть точка $z=0 , предельная для полюсов
$\ctg\frac{1}{z}$
Причем заявили, что полная сумма вычетов по всем изолированным особым точкам этой функции также равна нулю, хоть функция и имеет бесконечное число изолированных особых точек вблизи предельной для полюсов точки.
Я попробовал решить эту задачу, для начала приступив к проверке утверждения для $\ctg \frac{1}{z} . Для этой функции
$z_k=(\pi k)^{-1}, $k$\in $\mathbb{Z}$ $ - полюса первого порядка, точка $z=0 - предельная для полюсов, $z=\infty - тоже полюс. Вычет в каждом простом полюсе $z_k будет равен $-\frac{1}{\pi^2 k^2}. В результате, сумма вычетов в точках $z_k представится рядом $$-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$$
Сумму этого ряда найду разложением функции $f(x)=x^2 по косинусам кратных дуг в интервале $(0,\pi)
$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}$$,
$f(\pi)=\frac{\pi^2}{3}+4$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$
Отсюда
$$-\frac{2}{\pi^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = -\frac{1}{3}$$
Далее я не понимаю, как найти вычет в бесконечно удаленной точке, так как обычно мы его искали из разложения в ряд Лорана по степеням $\frac{1}{z} или как раз по теореме о сумме вычетов, но здесь напротив нужно проверить равенство нулю вычетов по всем изолированным особым точкам. По поводу разложения в ряд Лорана приходят в голову только стандартные разложения для $\sin \frac{1}{z} и $\cos\frac{1}{z}, только дальше я встаю в тупик. Каким образом можно найти вычет в бесконечно удаленной точке для этой функции? И сразу вопрос - возможно вообще ли найти общий вид таких функций, что бы для него сформулировать требуемую теорему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 15:35 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
lookoutpelican в сообщении #960011 писал(а):
Далее я не понимаю, как найти вычет в бесконечно удаленной точке,

В ней как раз нормально ищется. Просто по определению.
Но вот ноль - тоже особая точка. Неизолированная. Что делать будем?
Проверьте Ваше утверждение на более простой функции. Например, $f(z)=\frac{1}{\sin \pi z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 15:48 


11/01/15
3
Otta в сообщении #960016 писал(а):
Но вот ноль - тоже особая точка. Неизолированная. Что делать будем?

Поправил своё первое сообщение

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 15:56 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Вы свое поправили, а мой пример остался. Не нравится? Нате еще один $f(z)=\frac{z}{\sin \pi z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 16:17 


11/01/15
3
Теперь я попробовал сформулировать как можно точнее

-- 11.01.2015, 17:21 --

Otta в сообщении #960016 писал(а):
Например, $f(z)=\frac{1}{\sin \pi z}$.

После вашего примера возникла идея - одним из возможных необходимых(или же достаточных?) условий требуемой теоремы является сходимость ряда из вычетов в полюсах, для которых как раз присутствует предельная точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 16:23 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
А, ну вот так лучше. Ну и что же, Вы собирались проверить утверждение для Вашего котангенса. Хорошее дело. Итак, вычет в бесконечности. (Уже видно, правда, что для этой функции ничего не выйдет, но хоть вычет научиться считать.)

-- 11.01.2015, 18:25 --

lookoutpelican в сообщении #960023 писал(а):
После вашего примера возникла идея - одним из возможных необходимых(или же достаточных?) условий требуемой теоремы является сходимость ряда из вычетов в полюсах, для которых как раз присутствует предельная точка.

А попробуйте. Как из этой функции сделать нужную, в общем-то, понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение11.01.2015, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1704
Москва
Ерунда какая-то, а не теорема. Все будет очень сильно зависеть от поведения функции в окрестности неизолированной особенности. Котангенс и обратный синус в этом плане хорошие функции, но это не просто так ясно, а выясняется их тщательным иследованием в окрестности предельной для полюсов точки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение12.01.2015, 07:59 
Заслуженный участник


11/05/08
31100
lookoutpelican в сообщении #960011 писал(а):
Нам предложили сформулировать и доказать теорему о сумме вычетов функции в присутствии точки, предельной для полюсов, в частности, найти такой вид функций, для которых бы эта теорема выполнялась.

Придумывать функции -- это потом. Сначала надо придумать, что такое вычет. Итак: что же такое вычет в неизолированной особой точке?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о сумме вычетов
Сообщение12.01.2015, 12:43 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
ewert в сообщении #960401 писал(а):
Сначала надо придумать, что такое вычет. Итак: что же такое вычет в неизолированной особой точке?...

Не надо ему этого придумывать. Речь идет о сумме вычетов в изолированных о.т.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group