2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос об интеграле Лебега.
Сообщение13.05.2012, 21:46 


15/04/12
159
Есть ли какое-то особое определение интеграла Лебега не по мере,а по заряду? Или точно такое же? Просто если заряд дискретный например на действительных числах,
то интегралом будет сумма ряда который не факт, что сходится абсолютно и зависит от порядка слагаемых..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос об интеграле Лебега.
Сообщение14.05.2012, 05:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31004
CptPwnage в сообщении #570472 писал(а):
интегралом будет сумма ряда который не факт, что сходится абсолютно и зависит от порядка слагаемых..

Обычный интеграл Лебега тоже не факт что сходится. Поэтому под суммируемыми по Лебегу функциями и принято понимать абсолютно суммируемые, т.е. такие, для которых конечен интеграл от модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос об интеграле Лебега.
Сообщение14.05.2012, 11:23 


15/04/12
159
Да, но в случае с зарядом есть множества с отрицательной мерой, и даже для положительной функции будут отрицательные слагаемые. Или заряд тоже тогда надо брать по модулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос об интеграле Лебега.
Сообщение11.01.2015, 21:06 


29/11/06
47
Тема хоть и старая, но у меня похожий вопрос, и посмотрев литературу я ответа с ходу не нашел.
Как (и можно ли) вообще определить интеграл Лебега по заряду.
Мне в голову пришла только одна конструкция:

1) воспользовавшись разложением Хана выделить положительное $(A)$ и отрицательное $(B)$ не пересекающиеся множества, составляющие в объединении все пространство
2) Представить интегрируемую функцию $F$ как сумму двух функций. $F_1=F\mathbb{I}(A)$ и $F_2=F\mathbb{I}(B)$, где $\mathbb{I}$ - индикаторная функция.
3) Для указанных функций строится стандартная конструкция интеграла Лебега, с той лишь разницей, что для $F_2$ мера отрицательная.
4) Итоговый результат $\int F d\nu=\int F_1 d\nu+\int F_2 d\nu$

На вид все логично, но почему так никто не делает в учебниках?

PS естественно может не сходится, как писали ранее, но никакой зависимости от порядка слагаемых нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос об интеграле Лебега.
Сообщение11.01.2015, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6829
Hogtown
Согласно определению лебеговского интеграла (по неотрицательной ли мере, по индефинитному же заряду) он сходится т. и т.т. когда он абсолютно сходится.

zrz в сообщении #960146 писал(а):
На вид все логично, но почему так никто не делает в учебниках?

Ну просто потому что надо сначала изучить неотрицательные меры (чтобы сказать, что любое подмножество множества меры 0 тоже имеет меру 0). А дальше все не принципиально

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group