2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кто меньше?
Сообщение10.01.2015, 18:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Попалась на глаза задачка.
Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-либо целого числа, отличного от 1?

У меня получились такие числа: 14748, 14749, 14750, 14751.

Объясняю ход своих мыслей. Три таких числа найти легко: 48, 49, 50. Далее можно, к примеру, приписать к каждому из них слева такое число, чтобы делилось на 49 и давало либо остаток 3, либо остаток 7 при делении на 9.
В этом случае число "...49" будет по-прежнему делиться на 49, а число "...48" всегда делится на 4 и число "...50" всегда делится на 25.
Кроме того, одно из чисел "...47" или "...51" будет кратно 9.

А теперь, кто меньше? Кто назовёт меньшую четвёрку чисел с требуемым в задаче свойством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто меньше?
Сообщение10.01.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А ход моих мыслей был такой:
перебрать немного в уме и что-то да попадётся. Небольшие множители будут попадаться с большей вероятностью, поэтому лучше перебирать кратные квадратам 7, 11, 13. Быстренько пробежавшись с кратными 49 уже на 245 увидим нужную четвёрку: 242, 243, 244, 245.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто меньше?
Сообщение10.01.2015, 19:48 


15/05/13
324
А вот пять подряд таких чисел: 3624, 3625, 3626, 3627, 3628. За минимальность не ручаюсь. Начал с четверки 24, 25, 27, 28, а потом прибавлял к 26 числа, кратные 900, пока на 49 не поделилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто меньше?
Сообщение10.01.2015, 20:17 
Заслуженный участник


04/03/09
906

(Ответы)

Минимальная пятерка 844,845,846,847,848.
Шестерка 22020,22021,22022,22023,22024
семерка 217070-217076
восьмерка 1092747-1092754
девятка 8870024-8870032

 Профиль  
                  
 
 Re: Кто меньше?
Сообщение10.01.2015, 20:21 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Машинным перебором найдена пятёрка, начинающаяся с числа $844$ и полудюжина, начинающаяся с $22020$.

(Страшненький код на Wolfram Language)

Код:
With[{n = 10^5, k = 6}, First@Select[Range[n], (Union[SquareFreeQ /@ Range[#, # + k - 1]] == {False}) &]]
Этого хватило для того, чтобы найти соответствующую последовательность в OEIS: A045882.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group