Упрощение логических выражений

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Проверить правильность рассуждения. Галя и Борис одного возраста или Галя старше Бориса. Если Галя и Борис – ровесники, то Оля и Борис разного возраста. Если Галя старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно, Оля и Борис разного возраста или Борис старше Коли. Решить задачу с помощью логических операций.

Пусть:
$A$ – Галя и Борис ровесники
$B$ – Оля и Борис разного возраста
$C$ – Борис старше Коли

Тогда

$$[(A \to B)\vee (\overline{A} \to C)] \to (B \vee C)$$

Я пробовал упростить эту формулу (с помощью программ), и в конце получил $B \vee C$, что не есть хорошо.

Подскажите, пожалуйста, что не так в составленной мной формуле.

Спасибо!

[provincialka]

Хм... А разве не это надо было получить? Разве что вы пропустили одно действие, заменив высказывание "Галя старше Бориса" сразу на $\bar{A}$.

[Limit79]

provincialka
Вроде же единица должна получится.

[provincialka]

А вы все выражение преобразовывали? Или только левее (последнего) знака следствия?

-- 05.01.2015, 19:40 --

Limit79 в сообщении #956819 писал(а):

Я пробовал упростить эту формулу (с помощью программ)

Зачем программы? Сами давайте.

[Limit79]

provincialka
В том-то и дело, что преобразовывалось все выражение.

Пробую сам:

Проверить правильность рассуждения. Галя и Борис одного возраста или Галя старше Бориса. Если Галя и Борис – ровесники, то Оля и Борис разного возраста. Если Галя старше Бориса, то Борис старше Коли. Следовательно, Оля и Борис разного возраста или Борис старше Коли. Решить задачу с помощью логических операций.

Пусть:
$A$ – Галя и Борис ровесники
$B$ – Галя старше Бориса
$C$ – Оля и Борис разного возраста
$D$ – Борис старше Коли

$$[(A \to C) \vee (B \to D)] \to C \vee D = [(A \to C) \vee (\overline{A} \to D)] \to C \vee D = [(\overline{A} \vee C) \vee (\overline{\overline{A}} \vee D)] \to C \vee D=$$

$$ = [(\overline{A} \vee C) \vee (A \vee D)] \to C \vee D = \overline{(\overline{A} \vee C) \vee (A \vee D)} \vee (C \vee D) = $$

$$= \overline{(\overline{A} \vee C)} \wedge \overline{(A \vee D)} \vee (C \vee D) = (\overline{\overline{A}} \wedge \overline{C}) \wedge (\overline{A} \wedge \overline{D}) \vee (C \vee D) = $$

$$= (A \wedge \overline{C}) \wedge (\overline{A} \wedge \overline{D}) \vee (C \vee D)$$

А дальше как – я не знаю...

[ex-math]

Ну уж $A\vee\overline{A}$ во второй строчке можно было сразу кое на что заменить.

[Limit79]

ex-math
Но там же нет $A \vee \overline{A}$.

[ex-math]

А дизъюнкция коммутативна и ассоциативна или нет?

[Limit79]

ex-math
И коммутативна и ассоциативна.

$$[(A \to C) \vee (B \to D)] \to C \vee D = [(A \to C) \vee (\overline{A} \to D)] \to C \vee D = [(\overline{A} \vee C) \vee (\overline{\overline{A}} \vee D)] \to C \vee D=$$

$$ = [(\overline{A} \vee C) \vee (A \vee D)] \to C \vee D =[(\overline{A} \vee A) \vee (C \vee D)] \to C \vee D = $$

$$ = [1 \vee (C \vee D)] \to C \vee D = (C \vee D) \to C \vee D = 1$$

Вроде получилось

Странно то, что с помощью компьютера эта единица не получалась.

-- 05.01.2015, 22:37 --

provincialka
ex-math
Спасибо за помощь!

[provincialka]

Может, он скобки в выражении не так расставляет?

[Limit79]

provincialka
Скобки я сам расставляю.

У меня есть несколько подобных примеров с решениями, я взял из двух примеров первоначальные формулы, подставил сюда, и получил единицу. А вот у меня вроде подобный пример, но компьютер эту единицу не получает. Непонятно, в общем говоря...

[ex-math]

В последней строке ошибка: $1\vee x$ есть $1$, а не $x$.
Посмотрел -- Вы неправильно формализовали задачу. Почему у Вас дизъюнкция в посылке первой формулы, а не конъюнкция?

-- 05.01.2015, 21:45 --

Так что компьютер не ошибся, а это Вы скормили ему не то, что нужно.

[Limit79]

ex-math в сообщении #956908 писал(а):

очему у Вас дизъюнкция в посылке первой формулы, а не конъюнкция?

Потому что в задаче «или». «Галя и Борис одного возраста или Галя старше Бориса».

[provincialka]

Компьютер решил правильно, а мы - нет! У вас формализация неверная: Два исходных условия связаны не дизъюнкцией, а конъюнкцией, не "или", а "и". В голове-то мы решали именно так. А у вас на бумаге - по-другому.

Уже написали, ну ладно

-- 05.01.2015, 21:53 --

Limit79 в сообщении #956914 писал(а):

«Галя и Борис одного возраста или Галя старше Бориса».

Нет, это не то. Из этого следует только, что "Галя старше Бориса" = $\bar A$

[Limit79]

Но почему «и»?