Случайные величины

[SlayZar]

Ежегодная потребность в электроэнергии для НИИ составляет в среднем $500$ кВт.ч. Какой расход электроэнергии можно наблюдать в любой день недели с вероятностью не менее $0,85$? Как изменится ответ задачи, если будет известно, что значение среднего квадратичного отклонения ежегодного расхода электроэнергии составит $50$ кВт.ч?
(Институт потребляет энергию $365$ дней в году).

Похоже, что мы должны пользоваться нормальным распределением. Но не могу никак это обосновать. Почему именно нормальное...
Если нормальное, то получается, что при квадратичном отклонении СВ $\sim N(500, 2500)$ и находим с помощью Лапласа.
Расход будет $\in [500-x_0;500+x_0]$

$p=\Phi_0(\frac{500+x_0-500}{50})-\Phi_0(\frac{500-x_0-500}{50})=2\Phi_0(\frac{x_0}{50}) \Rightarrow 2\Phi_0(\frac{x_0}{50}) \geqslant 0,85$ $\Rightarrow \Phi_0(\frac{x_0}{50}) \geqslant 0,425 \Rightarrow \frac{x_0}{50} \geqslant 1,44$

$x_0=1,44*50=72$
Значит, при таком среднеквадратичном отклонении с вер-тью не менее 0.85 можно наблюдать расход от $428$ до $572$ кВт.ч

Подскажите, пожалуйста, как поступить, если среднеквадратичное отклонение не известно?

[provincialka]

У вас 500 кВт.ч - в день или в год? Написано, что в год. Еще про день недели упоминается. Это важно?

[--mS--]

Кроме того, с большой вероятностью задача не на нормальное распределение, а на неравенства Маркова, Чебышёва и т.п. Первый вопрос во всяком случае точно.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #956413 писал(а):

У вас 500 кВт.ч - в день или в год? Написано, что в год. Еще про день недели упоминается. Это важно?

Я вот тоже не совсем понял здесь условие, но похоже, что всё же 500 кВт.ч - это в год. А день недели думаю просто имеется ввиду один день.

-- 04.01.2015, 20:54 --

--mS-- в сообщении #956417 писал(а):

Кроме того, с большой вероятностью задача не на нормальное распределение, а на неравенства Маркова, Чебышёва и т.п. Первый вопрос во всяком случае точно.

А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?

[SlayZar]

А, кажется понял.
Вот для второго пункта:
Мат. ожидание для одного дня $\mu=\frac{500}{365}=1,37$
Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$
По неравенству Чебышёва: $P(\left|X-\mu\right| \geqslant a) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}$

Получаем $P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{0,019}{a^2}$
Тогда можем поменять знаки неравенств $P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant \frac{0,019}{a^2}=0,85$
Значит $a=\sqrt{\frac{0,019}{0,85}}=0,15$

И ответ тогда получается [1,22; 1,52]
Но ответ какой-то не очень красивый. Странно, что пришлось на $365$ все делить...
Но вроде бы правильно, да?

[--mS--]

SlayZar в сообщении #956518 писал(а):

Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. Но не среднеквадратичное отклонение.

SlayZar в сообщении #956518 писал(а):

Получаем $P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{0,019}{a^2}$
Тогда можем поменять знаки неравенств $P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant \frac{0,019}{a^2}=0,85$

$\mathsf P(\overline A)=1-\mathsf P(A)$.

SlayZar в сообщении #956426 писал(а):

А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?

Есть. Посмотреть, в каком разделе задачника задача. Если серьёзно, то выбор нормального распределения тут был бы вполне разумен, кабы не первый вопрос.

[SlayZar]

--mS-- в сообщении #956523 писал(а):

SlayZar в сообщении #956518 писал(а):

Отклонение для одного дня $\sigma=\frac{50}{365}=0,137$

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. Но не среднеквадратичное отклонение.

Да, точно, тогда получается находим дисперсию для одного дня $\sigma^2=\frac{2500}{365}=6,85$
$P(\left|X-1,37\right| \geqslant a) \leqslant \frac{6,85}{a^2}$

$P(\left|X-1,37\right| \leqslant a) \geqslant 1-\frac{6,85}{a^2}=0,85$

$\frac{6,85}{a^2}=0,15 \Rightarrow a=\sqrt{\frac{6,85}{0,15}}=6,76$

Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

--mS-- в сообщении #956523 писал(а):

SlayZar в сообщении #956426 писал(а):

А вот есть какой то способ точно понять каким распределением надо пользоваться? Или просто надо как-то догадаться?

Есть. Посмотреть, в каком разделе задачника задача. Если серьёзно, то выбор нормального распределения тут был бы вполне разумен, кабы не первый вопрос.

Но ведь для первого вопроса по неравенству Чебышёва нам все равно надо знать среднее отклонение, разве нет?

[--mS--]

SlayZar в сообщении #956536 писал(а):

Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

Ничего такого не получается. Число $25$ вполне себе лежит между $-30$ и $43$, и не становится от этого отрицательным.

SlayZar в сообщении #956536 писал(а):

Но ведь для первого вопроса по неравенству Чебышёва нам все равно надо знать среднее отклонение, разве нет?

Поищите неравенства, где не надо знать среднеквадратичное отклонение.

[SlayZar]

--mS-- в сообщении #956554 писал(а):

SlayZar в сообщении #956536 писал(а):

Но так вообще получается, что расход отрицательным может быть...

Ничего такого не получается. Число $25$ вполне себе лежит между $-30$ и $43$, и не становится от этого отрицательным.

А откуда у нас эти числа?
Мы получили, что $a=6,76$ и, как я понимаю, мы должны подставить его в неравенство $\left|X-1,37\right| \leqslant a$
То есть имеем $\left|X-1,37\right| \leqslant 6,76$

Получаем $X \in [-5,39; 8,13]$

Разве не так?

[--mS--]

Так, и что Вас смущает?

[SlayZar]

--mS-- в сообщении #956560 писал(а):

Так, и что Вас смущает?

Ну так получается что в любой день недели с вероятностью не менее $0,85$ можно наблюдать расход от -5,39 кВт.ч до 8,13 кВт.ч

Другими словами, мы получили, что каждый день с очень большой вероятностью может потребляться отрицательное кол-во энергии... Или же я что-то не так понимаю...

[provincialka]

Просто оценка по неравенству Чебышева довольно грубая. Мы же не делали никаких дополнительных предположений о распределении, в частности, о положительности с.в.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #956563 писал(а):

Просто оценка по неравенству Чебышева довольно грубая. Мы же не делали никаких дополнительных предположений о распределении, в частности, о положительности с.в.

То есть это нормально или лучше написать от 0 до 8,13?
Просто иначе с точки зрения логики ответ получается неправильным...

[provincialka]

Да нет, с точки зрения логики все нормально. Например, я могу сказать, что завтра температура воздуха будет от $-40^\circ C$ до $+30^\circ C$ -- разве это неверно? Будет. С весьма высокой вероятностью. Хотя зимой $+30^\circ C$ -- это практически невероятно.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #956573 писал(а):

Да нет, с точки зрения логики все нормально. Например, я могу сказать, что завтра температура воздуха будет от $-40^\circ C$ до $+30^\circ C$ -- разве это неверно? Будет. С весьма высокой вероятностью. Хотя зимой $+30^\circ C$ -- это практически невероятно.

Да, понимаю, о чем Вы, но ведь расход энергии - это сколько кВт потрачено. С температурой понятно, но разве расход энергии может быть отрицательным? Мы же не можем потратить $-2$ кВт...