2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение30.12.2014, 16:18 
Аватара пользователя


14/10/13
321
gris в сообщении #954454 писал(а):
Интересно само выражение "функция терпит разрыв". (...) Откуда, интересно, это повелось?
XIX-м веком пахнет от этого выражения. Я подозреваю, что оно появилось как калька при переводах с какого-нибудь французского или немецкого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение30.12.2014, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
popolznev в сообщении #954397 писал(а):
У функции $x \mapsto 1/x$ в нуле такой сильный разрыв, что он рвёт даже её область определения.
Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.

popolznev в сообщении #954397 писал(а):
Топологическое определение непрерывности для анализа не оч. удобно, это ясно. Взять ту же ТФКП.
Разницу можете внятно сформулировать? ТФКП пока давайте не трогать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение30.12.2014, 22:06 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Someone в сообщении #954682 писал(а):
Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.
В том-то и дело, что "как угодно".

Цитата:
Разницу можете внятно сформулировать?
Между чем и чем?

Цитата:
ТФКП пока давайте не трогать.
Как же не трогать теорию, которая является анализом по преимуществу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение31.12.2014, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
popolznev в сообщении #954683 писал(а):
Someone в сообщении #954682 писал(а):
Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.
В том-то и дело, что "как угодно".
Но всё-таки, когда доопределим так, как нам понравится, разрыв становится "менее сильным"? Ведь область определения теперь не разрывается.

popolznev в сообщении #954683 писал(а):
Цитата:
Разницу можете внятно сформулировать?
Между чем и чем?
Ну, Вы же заявили, что
popolznev в сообщении #954397 писал(а):
Топологическое определение непрерывности для анализа не оч. удобно, это ясно.
Вот и объясните, чем топологическое определение непрерывности отличается от определения из математического анализа, и чем оно неудобно. В качестве топологического определения возьмём вот это:
Someone в сообщении #954270 писал(а):
Определение 3. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0\in D(f)$, если для каждой окрестности $Of(x_0)$ точки $f(x_0)$ найдётся такая окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, что для всех $x\in D(f)\cap Ox_0$ выполняется $f(x)\in Of(x_0)$.
Сформулируйте определение, принятое в математическом анализе (не в ТФКП), и объясните, чем оно удобнее.

popolznev в сообщении #954683 писал(а):
Цитата:
ТФКП пока давайте не трогать.
Как же не трогать теорию, которая является анализом по преимуществу?
А как определяется непрерывность функции в ТФКП?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение31.12.2014, 05:45 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Someone, разве я говорил что-то об "определениях, принятых в анализе"? Я говорил, что определение из топологии неудобно для анализа, а что там (в анализе) сейчас "принято" - я не знаю. И как бы я это выяснял - бегал и опрашивал учебники анализа, что ли?

А вот определение непрерывности в топологии вроде как стандартное раз и навсегда: прообраз любого открытого открыт. Или я неправ?

Насчёт "сильного разрыва функции $1/x$" - я, вопчем-то, ожидал, что заведомо шутливый тон моей фразы будет учтён. Хотя здесь шутка не без намёка, конечно.

"Как определяется непрерывность функции в ТФКП" - я опять не знаю, потому что мне неизвестна организация, которая бы отвечала за всю ТФКП. Я могу заглянуть в конкретный учебник и сказать, что там написано.

А вот вопрос "чем неудобно в анализе топологическое определение" - он, я думаю, как раз по существу. Именно тем, что из рассмотрения выпадают точки, не принадлежащие области определения.

Да, и вот опять - вы пишете: "в анализе, но не в ТФКП". Я не понимаю, зачем отрывать анализ от ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение31.12.2014, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
popolznev в сообщении #954731 писал(а):
А вот определение непрерывности в топологии вроде как стандартное раз и навсегда: прообраз любого открытого открыт. Или я неправ?
Во-первых, это определение во многих случаях удобно. Во-вторых, в топологии есть не одно топологическое определение непрерывности (все эквивалентные, если кто-нибудь не использовал термин "непрерывное отображение" для чего-то нестандартного), и выше я как раз формулировал одно — с употреблением термина "окрестность". Неудобно одно — воспользуйтесь другим.

popolznev в сообщении #954731 писал(а):
разве я говорил что-то об "определениях, принятых в анализе"?
Я думал, Вы что-то конкретное имели в виду, а Вы так — только поболтать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение02.01.2015, 14:20 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Someone в сообщении #954816 писал(а):
в топологии есть не одно топологическое определение непрерывности (все эквивалентные...), и выше я как раз формулировал одно — с употреблением термина "окрестность".
Вот именно что все эквивалентные. Впрочем, это как раз неважно.

Цитата:
Я думал, Вы что-то конкретное имели в виду, а Вы так — только поболтать.
Вот тебе и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение03.01.2015, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
popolznev в сообщении #955405 писал(а):
Вот именно что все эквивалентные. Впрочем, это как раз неважно.
Как раз важно, что эквивалентные. Поэтому можно пользоваться любым.
popolznev в сообщении #955405 писал(а):
Вот тебе и всё.
Разумеется. Вы же ничего конкретного не сказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение04.01.2015, 04:05 
Аватара пользователя


14/10/13
321
Цитата:
Разумеется. Вы же ничего конкретного не сказали.
Моё утверждение было (и остаётся) таким: определение непрерывности и разрыва, которое неприменимо к точке, не принадлежащей области определения функции, в анализе неудобно. Коли это утверждение для вас - "ничего конкретного" - ну что ж я могу поделать, на нет и суда нет. Кстати, когда я говорил "неважно", это относилось к тому же: что бы мы ни говорили о топологических определениях (считать их одним или разными эквивалентными), точек вне области определения они учитывать не будут, поэтому для моего тезиса это неважно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение04.01.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
popolznev в сообщении #956092 писал(а):
Моё утверждение было (и остаётся) таким: определение непрерывности и разрыва, которое неприменимо к точке, не принадлежащей области определения функции, в анализе неудобно.
И где оно таким "было"? Дайте точную ссылку. А также сформулируйте определение предела и непрерывности, учитывающее точки, в которых функция не определена. Чтобы мы могли восхититься его удобством для математического анализа и (в особенности) для ТФКП.

popolznev в сообщении #956092 писал(а):
Коли это утверждение для вас - "ничего конкретного" - ну что ж я могу поделать, на нет и суда нет. Кстати, когда я говорил "неважно", это относилось к тому же: что бы мы ни говорили о топологических определениях (считать их одним или разными эквивалентными), точек вне области определения они учитывать не будут, поэтому для моего тезиса это неважно.
Топологические определения 3 и 4 эквивалентны определениям, принятым в математическом анализе, за исключением того, что имеют более широкую область применимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точка разрыва на границе области определения функции
Сообщение04.01.2015, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11256
Казань
А по-моему, непрерывность - особь статья, а точки разрыва - особь статья. Они же одновременно (в одной и той же точке) не наблюдаются. Определение собственно непрерывности в топологии и анализе по сути одинаково. Просто в абстрактных пространствах может не понадобиться понятие разрыва.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group