2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 14:45 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Читаю учебник Р. А. Шарипова - "Быстрое введение в тензорный анализ".
Цитата:
Теперь представим себе, что мы имеем некоторый объект, который задается
тремя числами в каждом базисе, и эти числа удовлетворяют некоторым
правилам преобразования при замене базиса, но эти правила отличаются от
(6.2) и (6.5). Возможно ли это ? Каждый может попытаться найти подобный
объект в природе. Однако, в математике мы имеем другую возможность.
Мы можем построить такой объект мысленно, затем изучить его свойства, и
наконец поискать представлен ли он каким-либо образом в природе.

$\tilde{x^{j}} = \sum\limits_{i=1}^3 T^{j}_{i} x^i$ (6.2)
$x^{j} = \sum\limits_{i=1}^3 S^{j}_{i} \tilde{x^i}$ (6.5)
Не понятно чем отличается вектор от ковектора. Имеется ввиду, что можно использовать например, такое $\tilde{x^{j}} = \sum\limits_{i=1}^{3} 2\cdot T^{j}_{i} x^{i}$ (*) правило преобразования? Если да, то по какому правилу будет вычисляться координата $x^{j}$ для (*)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12813
Москва
У вектора и ковектора разные законы преобразования компонент при переходе к новому базису. А "хфилософствования" Шарипова, подобные приведенному выше, лучше пропускать, они только запутывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
Ковектор от вектора отличаются примерно как вектор-строка от вектора-столбца.

Рассмотрим уравнение плоскости в виде $A^1x_1+A^2x_2+A^3x_3=0$. Здесь $(x_1,x_2,x_3)$ можно рассматривать как координаты некоторого вектора. А что такое $(A^1,A^2,A^3)$?
Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 20:14 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Ковектор - это линейный функционал, заданный на векторном пространстве. Общий вид такого функционала записывается через скалярное произведение. Если Шарипов труден, можно почитать какой-нибудь учебник линейной алгебры типа Гельфанда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 22:29 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
Что-то я совсем запутался. Но ничего сейчас распутаюсь.
Если рассматривать $(x_1, x_2, x_3)$ как координаты некоторого вектора в стандартном базисе $e_1 = (1, 0, 0); e_2 = (0, 1, 0); e_3 = (0, 0, 1)$, то $(A^1, A^2, A^3)$ есть вектор перпендикулярный к этому вектору, учитывая уравнение, которое есть скалярное произведение.

Цитата:
Ковектор - это линейный функционал, заданный на векторном пространстве.

То есть, он каждому обычному вектору ставит в соответствие число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение30.12.2014, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
netang в сообщении #954685 писал(а):
есть вектор перпендикулярный к этому вектору,
Это просто некий набор чисел, задающий плоскость. А левая часть, $A^1x_1+A^2x_2+A^3x_3$ и есть линейный функционал.
Ортогональность тут не важна, важно, как преобразуются координаты.
provincialka в сообщении #954578 писал(а):
Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

От координат $x_i$ мы переходим к новым координатам $y_j$. Как нужно преобразовать коэффициенты, чтобы значение функционала сохранилось?

(ортогональность)

То, что ковектору $A^i$ можно поставить в соответствие вектор, ортогональный плоскости - это уже следствие, связанное с дополнительной структурой на аффинном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение31.12.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20009
Уфа
мат-ламер в сообщении #954663 писал(а):
Общий вид такого функционала записывается через скалярное произведение.
А запишите-ка такой функционал от многочленов, берущий сумму их коэффициентов, с помощью скалярного произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение31.12.2014, 09:54 
Аватара пользователя


14/09/12
181
Уфа
provincialka в сообщении #954705 писал(а):
Это просто некий набор чисел, задающий плоскость.

Мне это ясно, я думал, Вы хотите чтобы я нашел какое-то соответствие между $(x_1, x_2, x_3)$ и $(A^1, A^2, A^3)$.

provincialka в сообщении #954578 писал(а):
Пусть $x_i=\sum T_i^j y_j$. Подставьте в уравнение плоскости и посмотрите, как изменятся $A^i$

$A^1\sum T_1^jy_j+A^2\sum T_2^jy_j+A^3\sum T_3^jy_j = A^1(T_1^1y_1+T_1^2y_2+T_1^3y_3) + A^2(T_2^1y_1+T_2^2y_2+T_2^3y_3) + A^3(T_3^1y_1+T_3^2y_2+T_3^3y_3) = A^1T_1^1y_1+A^1T_1^2y_2+A^1T_1^3y_3 + A^2T_2^1y_1+A_2T_2^2y_2+A_2T_2^3y_3 + A^3T_3^1y_1+A^3T_3^2y_2+A^3T_3^3y_3 = (A^1T_1^1 + A^2T_2^1+A^3T_3^1)y_1 + (A^1T_1^2 + A^2T_2^2+A^3T_3^2)y_2 + (A^1T_1^3 + A^2T_2^3+A^3T_3^3)y_3 = 0$
Правило преобразования: $\sum A^jT_j^i$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение31.12.2014, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11032
Казань
netang в сообщении #954751 писал(а):
Правило преобразования: $\sum A^jT_j^i$ ?

Именно. Вроде матрица перехода та же, но используется несколько по-другому. Вектор в данном случае можно считать столбцом, тогда умножение на матрицу будет слева. А ковектор - строкой, умножается на матрицу справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чем отличается вектор от ковектора?
Сообщение31.12.2014, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63019
По-моему, проще всего взять, и представить себе градиент от какой-нибудь линейной функции. И сказать себе: "вот это - ковектор". Потом смотреть, как он меняется в разных базисах, и привыкать.

(Если функцию заменить на нелинейную, то получится не ковектор, а ковекторное поле - оно же дифференциальная 1-форма. Но не любая такая форма, а точная. Впрочем, представить себе любую - тоже можно легко: просто функция из точки пространства в множество ковекторов. Если пространство не линейное - то множество ковекторов строится на основе касательного линейного пространства в данной точке.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group