2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение23.12.2014, 09:58 


08/04/09
21
Имеется n вибродатчиков, передающих одномерные сигналы. Значения вибросигналов считываются через определенные равные промежутки времени. В результате получается m значений для каждого из n сигналов. Затем каждый из n сигналов центрируется (определяется среднее и вычитается из каждого мгновенного значения). Таким образом, у нас получается числовой массив, в котором n строк и m столбцов. Необходимо из этого массива сформировать корреляционную и ковариационную матрицы, т.е. нужно правило формирования элементов этих матриц. Желательно правило изложить попроще, на понятном для технаря-программиста языке.

Задача хоть и тривиальная, но текст составлял сам. Поэтому в нем могут быть некорректности. При обнаружении прошу указать. Вопросы по нормированию будут после того как определимся с матрицами. Заранее всех благодарю за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение23.12.2014, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1206
Самара
Ну если я праивильно понял, то Вы получаете матрицу $n\times m$, в которой суммы по строкам равны нулю?
Обозначим ее элементы как $(X_j^{(i)})$, $i$-номер строки. Видимо речь идет о независимых и одинаковых по стохастическим характеристикам датчиках. Каждая строка - суть реализация случайного вектора ($m$-мерного сечения случайного процесса) и таких реализаций у нас $n$.

Ну тогда, видимо, выборочная ковариационная матрица (размера $m\times m$) будет состоять из элементов ($k$-номер строки)
$$
c_{kl}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(X_k^{(i)}-\overline{X_k}\right)\left(X_l^{(i)}-\overline{X_l}\right),
$$
где
$$
\overline{X_k}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_k^{(i)},\quad\overline{X_l}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_l^{(i)}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение24.12.2014, 05:35 


08/04/09
21
Henrylee, спасибо!

А что на счет корреляционной матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение24.12.2014, 06:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Корреляционная - соответственно, из элементов
$$\dfrac{c_{kl}}{\sqrt{\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(X_k^{(i)}-\overline{X_k}\right)^2\cdot \dfrac1n\sum\limits_{j=1}^n\left(X_l^{(j)}-\overline{X_l}\right)^2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение24.12.2014, 11:10 


08/04/09
21
--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение24.12.2014, 12:55 


07/08/14
1658
Cars в сообщении #951074 писал(а):
Затем каждый из n сигналов центрируется (определяется среднее и вычитается из каждого мгновенного значения). Таким образом, у нас получается числовой массив, в котором n строк и m столбцов.

в строках нормированные значения $X-\overline{X}$ или мгновенные $X$? $m$, я так понимаю - отсчеты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение24.12.2014, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Cars в сообщении #951491 писал(а):
--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

У меня ровно обозначения из ответа Henrylee.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение29.12.2014, 13:21 


08/04/09
21
Henrylee в сообщении #951384 писал(а):
Ну если я праивильно понял, то Вы получаете матрицу $n\times m$, в которой суммы по строкам равны нулю?
совершенно верно!

upgrade в сообщении #951520 писал(а):
в строках нормированные значения $X-\overline{X}$ или мгновенные $X$? $m$, я так понимаю - отсчеты?
Обычно $X_j^{(i)}-\overline{X_i}$ называют центрированными значениями $i$-го сигнала, а для нормирования надо еще разделить на разницу между максимальным и минимальным значениями $i$-го сигнала. Если не прав, то прошу поправить.

По вашему вопросу: в строках "числового массива [$i,j$]" не мгновенные значения $X_j^{(i)}$, а их центрированные величины $X_j^{(i)}-\overline{X_i}$.

$m$ - количество отсчетов (по каждому из $n$ сигналов).

-- Пн дек 29, 2014 14:28:48 --

--mS-- в сообщении #951643 писал(а):
Cars в сообщении #951491 писал(а):
--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

У меня ровно обозначения из ответа Henrylee.

Значит по вашему выражению элементы корреляционной матрицы вычисляются по элементам ковариационной.

А как выглядит выражение для вычисления корреляционной матрицы непосредственно по элементам «исходного числового массива», который представляет собой центрированные значения сигналов (см. текст темы и мой предыдущий пост).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение29.12.2014, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5170
Москва
Cars в сообщении #953970 писал(а):
а для нормирования надо еще разделить на разницу между максимальным и минимальным значениями $i$-го сигнала.


Это лишь один из возможных способов нормирования. В данном случае обычно нормируют так, чтобы дисперсия нормированной величины была бы равна единице, для чего делят на среднеквадратичное отклонение. Если вычислить для нормированных так величин ковариационную матрицу, она совпадёт с корреляционной. Чаще, однако, считают ковариационную матрицу, а корреляционную по ней, разделив её строки и столбцы на корень квадратный из диагональных элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование
Сообщение29.12.2014, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3883
Cars в сообщении #953970 писал(а):
А как выглядит выражение для вычисления корреляционной матрицы непосредственно по элементам «исходного числового массива», который представляет собой центрированные значения сигналов (см. текст темы и мой предыдущий пост).

Подставьте в формулу значения $c_{kl}$ из ответа Henrylee, получите "непосредственно по элементам «исходного числового массива»".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group