2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3551
nnosipov

(Оффтоп)

Насчёт "наполовину" -- это шутка, конечно. Про то, что для каждого второго $n$ неделимость $3^n-1$ на $2^n-1$ по-детски очевидна.
Но нужно было в оффтоп, сорри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение25.12.2014, 18:42 
Заморожен


20/12/10
5623
grizzly

(Оффтоп)

А, вот про какую половину идёт речь. Дело в том, что эта задача (про делимость $3^n-1$ на $2^n-1$), вся целиком, формально детская, ибо предлагалась детям на каком-то московском отборочном мероприятии где-то в середине 2000-х годов. Но до меня далеко не сразу дошло, в чём там фокус, когда я попытался эту детскую задачу решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 12:04 


14/12/14
454
SPb
ИСН в сообщении #952121 писал(а):
ИСН в сообщении #951791 писал(а):
начинать следует, как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.


-- менее минуты назад --

Туманно как-то вышло; вон с двойкой попробовали и всё ОК. Ну ладно, а Вы всё же попробуйте ещё с каким-нибудь малым...


Ну, допустим, видно, что число $1000^n-1$ делится на 3 и 9. Наверное, надо показать, что число $1986^n-1$ не будет кратно этим числам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Ваш вопрос подобен вопросу о направлении от человека, который уже занёс одну ногу для шага и находится в неустойчивом равновесии. Странный момент для вопроса, ну да ему виднее. Можно ответить, а можно подождать, пока он потеряет равновесие и опустит ногу, таким образом сделав шаг, и обнаружив (может быть) на этом месте что-то, что сделает сам вопрос излишним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3551
timber в сообщении #952505 писал(а):
Наверное, надо показать, что число $1986^n-1$ не будет кратно этим числам?

Неужели у Вас такая скорость набора, что задать этот вопрос для Вас быстрее, чем его решить? Рискну предположить, что задать Вы хотя бы попробовали, а решить -- нет. Но вот Вам мой совет: старайтесь всегда действовать в обратном порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 12:48 


14/12/14
454
SPb
Я к тому, что если идти этим путем и доказывать, что степень какого-то числа за вычетом единицы не кратна 3 или 9, то полная запись такого доказательства будет не лучше, чем приведенное выше мной. Но, заявляется, что есть гораздо более простой способ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Вы предъявите её наконец, эту полную запись, а тогда и сравним, что короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 16:13 


14/12/14
454
SPb
Так как $1000^n-1=99...9$ кратно 3, то в случае, если $(1986^n-1)\vdots(1000^n-1)$, число $1986^n-1$ должно быть также кратно 3. Покажем, что это не так для всех $n$.
1) Проверим это при $n=1$. 1985 не кратно 3.
2) Пусть $ 1986^k-1$ не кратно 3 для $k=n$. Докажем справедливость этого утверждения для $n=k+1$. ... В итоге, получаем $1986(1986^k-1)+1985$, которое не кратно 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 16:18 
Заморожен


20/12/10
5623
Верно :) Но Вы действительно не ищите лёгких путей. $1986^n-1$ не кратно $3$, так как $1986^n$ делится на $3$. Разве не очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 17:11 


14/12/14
454
SPb
nnosipov в сообщении #952594 писал(а):
Верно :) Но Вы действительно не ищите лёгких путей. $1986^n-1$ не кратно $3$, так как $1986^n$ делится на $3$. Разве не очевидно?


Иди знай. Очевидно то, что очевидно доказывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13114
с Территории
Ну так а это разве не очевидно доказывается? 1986 делится на 3, значит, любая его степень - тоже, значит, на единицу меньшее число - уж точно нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1
Сообщение26.12.2014, 17:27 
Заморожен


20/12/10
5623
ИСН в сообщении #952617 писал(а):
1986 делится на 3
Здесь можно сослаться на признак делимости на $3$, который знают очень многие школьники, и этим признаком можно пользоваться не доказывая его (как теоремой Пифагора).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group