2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Оптимальное управление
Сообщение24.12.2014, 14:51 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Всех приветствую.
$\ddot{x}=u(t);\ x(0)=0,\ \dot{x}(0)=0;\ \int\limits_{0}^{T}u^{2}(t)dt \leqslant  1 .$
Нужно найти область достижимости $(x,\dot{x})\in  \mathbb{R} ^{2}. $

Если перейти к системе $x_{1}=x,\ x_{2}=\dot{x},  $ то $x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2}  )^{2} dt\leqslant 1.$
Можно ли так интерпретировать задачу: $\int\limits_{0}^{T}\sqrt{(\dot{x_1})^{2}+(\dot{x_2})^{2}  }dt \to  \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2}  )^{2} dt\leqslant 1,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0\ ?$
Спасибо.

(Оффтоп)

Готов к тому, что будете бить по голове. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение24.12.2014, 17:50 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Точнее так: $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ \dot{x_1}=x_2,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение24.12.2014, 22:09 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
То есть, заменить задачу о достижимости задачей об условной оптимизации. Большая неточность : из какого класса допустимые управления?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение24.12.2014, 22:18 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Цитата:
из какого класса допустимые управления?

cool.phenon, кусочно-непрерывного.

-- Чт дек 25, 2014 00:25:18 --

Я не представляю, как же все-таки увязать интегральное неравенство - связку.
Пытался через уравнение Эйлера найти экстремаль, но заткнулся на $\dot {x_{2}}=x_{2}\operatorname{tg}{(x_{2}+C_{1})}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 10:41 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Я получил две противоположные параболы, стыкующиеся в начале координат, с осью симметрии $Ox.$
Мне подсказали, что областью достижимости будет эллипс, поэтому слабо верится в правильность моего решения...

-- Чт дек 25, 2014 12:44:59 --

Забыл написать мой результат: ${{x}_{2}}^{2}\leq \frac{2}{\sqrt{T}}{x}_{1},\ t\in[0,T].$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 19:01 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Если взять ${u}^{2}(t)=\frac{1}{T},$ то как раз получается что-то параболическое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 20:46 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
1r0pb в сообщении #951620 писал(а):
Точнее так: $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ \dot{x_1}=x_2,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$

А откуда Вы взяли именно такой вид функционала? Я говорю о $\sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 21:14 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup, а, надо было оговориться, что это длина дуги кривой, заданной параметрически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 21:20 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
А при чем тут длина дуги? Или я чего-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 21:23 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Но я остановился на варианте $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{{(\dot{x_{1}})}^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$
Но нужно ли учитывать $\dot{x_1}=x_2 $ - вопрос.

-- Чт дек 25, 2014 23:27:36 --

sup в сообщении #952295 писал(а):
А при чем тут длина дуги? Или я чего-то не понимаю?

Пытался свести к более понятному для меня, ибо не знаком с ТУ. Но, видимо, ошибся. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 21:32 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Цитата:
Я пытался свести к более понятному для меня, ибо не знаком с ТУ

Понятно.
И умножил на три, потому что вспомнил святую троицу (с).
Я бы посоветовал Вам найти максимум
$\dot x = \int\limits_{0}^{T} \ddot{x}(t)dt$
при условии
$\int\limits_{0}^{T} \ddot{x}^{2}(t)dt \leqslant  1 $
в классе функций
$\ x(0)=0,\ \dot{x}(0)=0, x(T) = x_0$
Это максимальная достижимая скорость, при заданной конечной координате $x_0$. Из соображений симметрии, минимум будет соответствующий. Вот и получите искомую область. Функционал максимизируется стандартными способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение25.12.2014, 22:08 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup, да, я Вас понял. Спасибо.
Ну у меня все равно парабола вышла. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение26.12.2014, 08:59 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Это странно. А Вы до кубических полиномов добрались? Вам удалось установить, что максимум достигается на кубических полиномах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение26.12.2014, 09:55 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Вспомогательный функционал Лагранжа:
$F=\int_{0}^{T}[\ddot{x}+\lambda {(\ddot{x})}^{2}]dx,\ f=\ddot{x}+\lambda {(\ddot{x})}^{2}.$
Уравнение Эйлера-Пуассона:
${\dot{f}}_{x}-\frac{d}{dt}({\dot{f}}_{\dot{x}})+\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}({\dot{f}}_{\ddot{x}})=0.$
$\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}(1+2\lambda \ddot{x})=0\ \Rightarrow \ \frac{d}{dt}(1+2\lambda \ddot{x})=2{C}_{1},\ 1+2\lambda \ddot{x}={2C}_{1}t+{2C}_{2}+1\ \Leftrightarrow \ \lambda \ddot{x}={C}_{1}t+{C}_{2},\ ...\ ,\ x=\frac{{C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{3}+\frac{{C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}.$

Итого
$\left\{\!\begin{aligned}& x=\frac{{C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{3}+\frac{{C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}\\ & \dot{x}=\frac{{3C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}+\frac{{2C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}t.\end{aligned}\right.$

-- Пт дек 26, 2014 11:56:25 --

sup в сообщении #952454 писал(а):
Это странно. А Вы до кубических полиномов добрались? Вам удалось установить, что максимум достигается на кубических полиномах?

sup, да, невнимательно делал, поэтому упустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение26.12.2014, 10:34 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Я так и не понял, добрались Вы до ответа или нет. Но для кубических полиномов предполагаемое решение легко выписывается в виде
$x = \frac{t^2}{T^2}(x_0 + \alpha(t-T))$
Теперь надо подобрать $\alpha$ так, чтобы и максимум/минимум производной был и интеграл был меньше $1$.
В ответе у меня вроде бы получился эллипс. Но это так, на скорую руку. Детально я не проверял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group