2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 02:45 
Аватара пользователя


21/06/12
184
Разбираюсь с поверхностными интегралами. Не очень понимаю пока, поэтому трудно идет.
Хотелось бы услышать комментариев по поводу моих решений.

1. $$\iint\limits_{S}^{}(x+y+z^2)dS$$, где S - часть поверхности $z=\sqrt{x^2+y^2}$ между плоскостями $y=\left\lvert x \right\rvert$ и $y=3$
Решение:
Получается конус. Проекция на $Oxy$ - треугольник.
Переходим от ПОВИ-1 к 2И: $\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}=\sqrt{2}$
$I=\iint\limits_{S}^{}(x+y+z^2)dS=\sqrt{2}\iint\limits_{D}^{}(x+y+x^2+y^2)dxdy=2\sqrt{2}\int\limits_{0}^{3}dx\int\limits_{0}^{x}(x+y+x^2+y^2)dy=50\sqrt{2}$

2. Найти площадь части цилиндра $x^2+z^2=1$, содержащейся между $y=x^2, y=-x^2$
Решение:
Рисунок - цилиндр, лежащий на $Oy$ и $y=x^2, y=-x^2$
$S=\iint\limits_{S}^{}dS$ $z=\pm\sqrt{1-x^2}$
$dS=\frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2}}$
$S=2\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{-x^2}^{x^2}\frac{dy}{\sqrt{1-x^2}}=4$

3. Найти площадь части винтовой поверхности $x=u\cosv, y=u\sinv, z=u+v, 0\leqslant u \leqslant2, u \leqslant v \leqslant u$
Решение:

$$\iint\limits_{D}^{}\sqrt{EG-F^2}dudv=\iint\limits_{D}^{}\sqrt{2u^2+1}dudv=\int\limits_{0}^{2}du\int\limits_{u}^{2u}\sqrt{2u^2+1}dv=\frac{13}{3}$$

4. $$\iint\limits_{S}^{}(2x^2+2y^2+4z^2)dxdy$$, где S - внутренняя сторона части полусферы $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$, вырезанной конусом $z=\sqrt{x^2+y^2}$

Решение:
$$\iint\limits_{S}^{}(2x^2+2y^2+4z^2)dxdy=\iint\limits_{D}^{}(2x^2+2y^2++36-4x^2-4y^2)dxdy=[x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, z=r]=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{\frac{3}{\sqrt{2}}}r(36-r)dr=36\pi(18-\sqrt{)} $$

5.$$\iint\limits_{S}^{}(-3x^2+4y^2+4z^2)dydz$$, если S - внешнаяя сторона поверхности $x=\sqrt{y^2+z^2}$ между $x=2, x=4$

Решение:
Рисунок: конус, лежащий на оси $Ox$, а вот проекция на $Oyz$ будет кольцо с радиусами 2 и 4 ???
$I=\iint\limits_{S}^{}(-3x^2+4y^2+4z^2)dydz=[z=\frac{r}{2}\cos\varphi, y=\frac{r}{2}\sin\varphi, I=\frac{r}{4}]=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{2}^{4}\frac{1}{4}r(-3r+r^2)dr=2\pi$

6. $$\iint\limits_{S}^{}3xdydz-2ydxdz-4zdxdy$$, где S - нижня сторона части плоскости $3x+2y-3z=6$ в 8 октанте

Решение:
$$\iiint\limits_{V}^{}(3-2-4)dxdydz+\iint\limits_{z=0}^{}+\iint\limits_{x=0}^{}+\iint\limits_{y=0}^{}=-3\iiint\limits_{V}^{}dxdydz=-3\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{}^{}dy\int\limits_{}^{}dz$$ что тут делать с пределами интегрирования в 8 октанте?

7. $$\oint\limits_{l}^{}(2y+z)dx+(2x+z)dy+(2x+y)dz$$, l - эллипс $x^2+y^2=1$, $x+y+z=1$, пробегаемый против ч. стрелки если смотреть из точки (4, 0, 0)

Решение:
Рисунок не очень понятен. Круг на оу и треугольник оуz.

Здесь по Стоксу
$$\iint\limits_{S}^{}-\cos\beta dS$$
все косинусы $= \frac{1}{\sqrt{3}}$
$$-\iint\limits_{S}^{}\frac{1}{\sqrt{3}}dS$$ И дальше я что-то засомневался и растерялся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Ой, много букафф. Посмотрела последнее
Ubermensch в сообщении #951028 писал(а):
l - эллипс $x^2+y^2=1$, $x+y+z=1$, пробегаемый против ч. стрелки если смотреть из точки (4, 0, 0)

Решение:
Рисунок не очень понятен. Круг на оу и треугольник оуz.

Первое уравнение - это не круг. Это цилиндр с образующей, параллельной оси $Oz$. Его пересекает плоскость.

-- 23.12.2014, 02:51 --

А вы Стокса через поверхностный интеграл второго рода не знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 02:58 
Аватара пользователя


21/06/12
184
Да, цилиндр конечно. 3 часа ночи, надо спать.
Да, через ПИ 2 рода знаю. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 15:43 
Аватара пользователя


21/06/12
184
Хотелось бы узнать, что более-менее правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 15:53 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Вы их зачем все в одну тему запихали? чтобы всем стало страшно от многабукав? :mrgreen: и никто не отвечал?
По порядку: первое задание.
Почему интеграл по проекции равен двум интегралам по половине проекции? Это точно?

Второе - нормально.

Третье - это не винтовая поверхность. Вы что-то попутали: или параметризацию, или слово перед ней.

Пятое: какого типа интеграл Вы считаете?

Шестое:
Ubermensch в сообщении #951028 писал(а):
что тут делать с пределами интегрирования в 8 октанте?
Нарисовать и расставить.

Про Стокса было уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 17:09 
Аватара пользователя


21/06/12
184
1. Говорят, что нельзя. А почему?
Тогда разивать на 2 интеграла?
3. Тут тригонометрия съелась. $x=u\cdot\cos(v), y=u\cdot\sin(v)$
5. Поверхностный интеграл второго рода свел к двойному интегралу.
7. $$\iint\limits_{S}{}\frac{1}{\sqrt{3}}dS$$ Получилось в ответе $-\pi$ Но я в задаче никак не учитывал точку (4, 0, 0).

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 18:52 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
1. А почему можно? Давайте так - когда можно? Если не очень ясно, когда, то есть смысл считать весь полностью, зачем на два-то.
3. А с $z$ все в порядке? Я не могу проверять, когда не вижу, что, как и почему считалось. :(
Кстати, Вы видите то, что у Вас написано под п. 4? Все полностью? Хорошо Вам, а у меня монитор такого не выдерживает, диагональю, видать, не вышел. И не проверяю, соответсссно.
5.
Ubermensch в сообщении #951229 писал(а):
5. Поверхностный интеграл второго рода свел к двойному интегралу.

В пределах интегрирования какое-то вранье, ориентация поверхности непонятно где учтена. И под интегралом что-то странное. Может, опечатка. А может, так задумано. Но странное.

Пока хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 19:23 
Аватара пользователя


21/06/12
184
1. Как узнать, когда можно разбивать, а когда нет?
3. Найти площадь части винтовой поверхности $x=u \cos v, y=u \sin v, z=u+v, 0\leqslant u \leqslant2, u \leqslant v \leqslant u$
Решение:

$$\iint\limits_{D}^{}\sqrt{EG-F^2}dudv=\iint\limits_{D}^{}\sqrt{2u^2+1}dudv=\int\limits_{0}^{2}du\int\limits_{u}^{2u}\sqrt{2u^2+1}dv=\frac{13}{3}$$

4 у меня тоже не видно. Как ни пробовал, но если под одним тегом $ умещать формулу, то не отображается. Разбил на части.
4. $$\iint\limits_{S}^{}(2x^2+2y^2+4z^2)dxdy$$, где S - внутренняя сторона части полусферы $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$, вырезанной конусом $z=\sqrt{x^2+y^2}$

Решение:
$$\iint\limits_{S}^{}(2x^2+2y^2+4z^2)dxdy=
=\iint\limits_{D}^{}(2x^2+2y^2++36-4x^2-4y^2)dxdy=[x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, z=r]=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi$$$\cdot$
$\cdot$$$\int\limits_{0}^{\frac{3}{\sqrt{2}}}r(36-r)dr=36\pi(18-\sqrt{)}$$

в 5 значит проекция не кольцо с радиусами 2 и 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение23.12.2014, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Ubermensch в сообщении #951268 писал(а):
в 5 значит проекция не кольцо с радиусами 2 и 4?
Именно. Кольцо. Только зачем при замене переменных вы ввели множитель $\frac12$? Где-то вы его учли, где-то нет. Пересчитайте аккуратнее. Вы бы, не допуская спешки, сначала (кратный) интеграл по $dydz$ записали. И ориентацию учтите: наружная сторона конуса - "верхняя" или "нижняя"? (если ось $Ox$ вверх пустить)

(Оффтоп)

Цитата:
«Этот ром выдержан достойно, без спешки, как и подобает лучшему рому в мире»


-- 23.12.2014, 21:36 --

№7. На что вам это корни из 3? Запишите поверхностный интеграл 2 рода и выразите все через $x, y$. Там сразу ответ получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение25.12.2014, 21:40 
Аватара пользователя


21/06/12
184
А в 1 задании получается же неограниченная поверхность. То есть конус сверх ничем не ограничен. Получается мое первое задание неправильно сделано и вообще нельзя найти поверхность?
Я думаю, может опечатка в условии. Вместо игрек равен 3 нужно зет равен 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение25.12.2014, 21:44 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
Ubermensch
Формулы оформляйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поверхностные интегралы
Сообщение26.12.2014, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11033
Казань
Ubermensch в сообщении #952316 писал(а):
А в 1 задании получается же неограниченная поверхность. То есть конус сверх ничем не ограничен. Получается мое первое задание неправильно сделано и вообще нельзя найти поверхность?

Это у вас паника. Из конической поверхности вырезается кусок. Конус ограничивать не надо, вы же интеграл не по трехмерному телу берете.
Otta в сообщении #951203 писал(а):
первое задание.
Почему интеграл по проекции равен двум интегралам по половине проекции? Это точно?
Подсказка: обычно такое удвоение связано с четностью функции. А у вас какие? И по какой переменной проверять четность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group