Принцип инвариантности ЛаСалля

[knoppix]

Столкнулся с необходимостью применить данный принцип. Допустим есть система:

$\dot{x_1}=\frac{2}{3}x_{2}$

$\dot{x_2}=-x_{1}+x_{2}(1-3x_{1}^{2}-2x_{2}^{2})$

И есть два множества:
$\begin{Bmatrix} x\epsilon \mathbb{R}^{2}|x_{1}=0,|x_{2}=0 \end{Bmatrix} и \begin{Bmatrix} x\epsilon \mathbb{R}^{2}|1-(3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2})=0 \end{Bmatrix}$

С первым множеством понятно, оно инвариантно, производные функций от 0 будут равны нулю. Со вторым же есть несколько вопросов.

Выражение после вертикальной черты есть функция Ляпунова, равная 0 в определенных точках $x_{1}$ и $x_{2}$, таким образом если найти ее производную в силу ДУ, и приравнять к нулю, для того чтобы движение было устойчивым, а множество инвариантным нужно чтобы полученное уравнение имело только тривиальные решения ($x_{1}=x_{2}=0$), верно?

Далее, судя по фазовому портрету системы:


В окрестностях точки $[0\, 0]$ система является неустойчивой, и ее траектория затягивается в предельный цикл (устанавливаются автоколебания). То есть мы можем сказать что множество ограниченное эллипсом ($\begin{Bmatrix} x\epsilon \mathbb{R}^{2}|1-(3x_{1}^{2}+2x_{2}^{2})=0 \end{Bmatrix}$) инвариантно относительно предельного цикла, так? Но не инвариантно относительно точки $[0\, 0]$? И мы можем признать некое множество инвариантным если ограничивая какую-нибудь особую точку ДУ, оно фактически к нему притягивается, верно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Просьба оформить все формулы. При этом каждая из них должна быть в обязательном порядке заключена в пару долларов по краям.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»