2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство трапеции
Сообщение23.12.2014, 23:31 


23/12/14
6
Если $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $E$, то $AM^2-ME^2=DN^2-NE^2$.

Я пришёл к этому соотношению следующим образом. Как известно, если $P$ - точка пересечения перпендикуляров, опущенных из $M$ на $AC$ и из $N$ на $BD$, то $PA=PD$ (ММО, 2011, 8 класс). Тогда нужная формула вытекает из теоремы Карно для треугольника $AED$.

Интересует, есть ли простое непосредственное доказательство? Наверняка это известная вещь - не подскажете источник?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.12.2014, 23:34 
Модератор


20/03/14
7528
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Ambivalent в сообщении #951380 писал(а):
Пришёл к этому кружным путём. Есть ли простое и очевидное доказательство?

Приведите для начала Ваше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.12.2014, 00:06 
Модератор


20/03/14
7528
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство трапеции
Сообщение24.12.2014, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4593
Нов-ск
Ambivalent в сообщении #951380 писал(а):
Если $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $E$, то $AM^2-ME^2=DN^2-NE^2$.

Я пришёл к этому соотношению следующим образом. Как известно, если $P$ - точка пересечения перпендикуляров, опущенных из $M$ на $AC$ и из $N$ на $BD$, то $PA=PD$ (ММО, 2011, 8 класс). Тогда нужная формула вытекает из теоремы Карно для треугольника $AED$.
Интересует, есть ли простое непосредственное доказательство?

Через т. $E$ провести перпендикуляр к основаниям, который пересечет $BC, MN, AD$ соответственно в точках $P, K, Q.$

Очевидно, $AQ \cdot BP = QD \cdot PC$
Т.е. $(MK+ t_1) \cdot (MK-t_1) = (NK+ t_2) \cdot (NK-t_2)$

Теперь к $MK^2- t_1^2=NK^2- t_2^2$ добавляем ещё две "теоремы Пифагора":

$ND^2- t_2^2=AM^2- t_1^2$
$ME^2- MK^2=NE^2- NK^2$

Все три складываем

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство трапеции
Сообщение24.12.2014, 12:37 


23/12/14
6
Замечательно, большое вам спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group