2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 14:59 


14/11/13
244
Требуется перечислить в циклической группе порядка $240$
а) все элементы удовлетворяющие условию $x^{16}=1$ и
б) все элементы порядка 16


В пункте а)
Так как у нас циклическая группа порядка $240$, то по определению имеем:
Порядок группы - наименьшее натуральное число n , для которого $x^n=e \Rightarrow x^{240}=e=1$

Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка $\Rightarrow x=0$ mod $240$,
Значит $x=240 n$, где $n \in N$
Подскажите, пожалуйста, правильное ли это решение?

А в пункте б)
получается, что $x^{16}=x^{256}= \cdots = x^{240n+16}$
Но как тогда найти эти элементы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
SlayZar в сообщении #948793 писал(а):
Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка

Почему противоречит? А, понятно! Вы вместо определения порядка группы указали определение порядка элемента. Конечно, один элемент два порядка иметь не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:05 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #948796 писал(а):
SlayZar в сообщении #948793 писал(а):
Тогда $x^{16}=1$ противоречит определению порядка

Почему противоречит?

Ну ведь по определению порядка $n=240$ это наименьшее число для которого $x^n=1$
А $16<240$
Или я неправильно понимаю это определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
SlayZar в сообщении #948797 писал(а):
Ну ведь по определению порядка $n=240$

Порядка чего? Элемента $x$ или всей группы? В группе ведь есть разные элементы. Вообще говоря, с разными порядками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
Порядок группы и порядок элемента - это два разных понятия, даже не однофамильцы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:10 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #948799 писал(а):
SlayZar в сообщении #948797 писал(а):
Ну ведь по определению порядка $n=240$

Порядка чего? Элемента $x$ или всей группы? В группе ведь есть разные элементы. Вообще говоря, с разными порядками.

Да, действительно, в моём определении речь идёт о порядке элемента $x$, а не о порядке группы...
А с помощью чего тогда нужно решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13120
с Территории
C помощью понимания смысла слов, больше ничего не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
SlayZar в сообщении #948801 писал(а):
А с помощью чего тогда нужно решать?

Ну как сказать. С помощью здравого смысла. А еще можно попробовать вместо 240 и 16 взять, например, 6 и 3. Можете выписать циклическую группу 6го порядка?

Мы с ИСН мыслим параллельно :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:48 


14/11/13
244
А. вроде бы понял, то есть если на примере 6

Пусть $X=<x>=\{e,x,x^2,x^3,x^4,x^5\}$

Тогда $(x^k)^3=1 \Rightarrow 3k \mod 6 =0 \Rightarrow k \mod 2 =0 \Rightarrow k=0, 2, 4 $, то есть элементы порядка $3$ это $e, x^2, x^4$
Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
Для начала хорошо. Теперь ищите элементы, в основной задаче.

Кстати, когда будете решать п. б) лучше в примере вместо 6 взять 12. Догадались, почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 16:16 


14/11/13
244
provincialka в сообщении #948810 писал(а):
Для начала хорошо. Теперь ищите элементы, в основной задаче.

Пусть $X=<x>=\{e,x,x^2,x^3, \cdots , x^{239}\}$

Тогда $(x^k)^{16}=1 \Rightarrow 16k \mod 240 =0 \Rightarrow k \mod 15 =0 \Rightarrow k=0, 15, 30, 45, \cdots, 225$, то есть элементы порядка $16$ это $e, x^{15}, x^{30}, \cdots, x^{210}, x^{225}$

provincialka в сообщении #948810 писал(а):
Кстати, когда будете решать п. б) лучше в примере вместо 6 взять 12. Догадались, почему?

Не совсем понял почему...
Но вот ту нашел формулу, что $ord x^k=\frac{ord (X)}{\gcd (k, ord (X))}$

Если по этой формуле, то получаем, что $16=\frac{240}{\gcd (k, 240)} \Rightarrow \gcd (k, 240)=15 \Rightarrow k = 15, 45, 75, 105, \cdots, 225$

И тогда элементы порядка 5 в $X$ это $x^{15}, x^{45}, x^{75}, \cdots, x^{195}, x^{225}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11028
Казань
SlayZar в сообщении #948817 писал(а):
Но вот ту нашел формулу,

Формула, это хорошо... Но плохо. А сами-то, сами?
Понимаете ли вы, чем отличаются вопросы а) и б)

 Профиль  
                  
 
 Re: Циклическая группа
Сообщение18.12.2014, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19781
Уфа
Кстати, угловые скобки пишутся так: \langle содержимое \rangle$\langle x\rangle$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group