2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение17.12.2014, 22:41 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Здравствуйте, все!
Пусть имеется дифференциальное уравнение:
$\frac {d\, f(y)}{dt} + r\, y(t)= {\sin(t)}$
где $r$ - константа .
Функция $f(y)$ - нечетная, монотонная, гладкая. Она имеет характер подобный функции: $a\,{x} + b \, \operatorname{arcth(x)}$.
Решение ищется в виде тригонометрического полинома методом Галёркина.
Хочется как-то доказать, что величины коэффициентов этого полинома будут обязательно убывающими. Интуитивно кажется, что это так (я не математик).
Можно сформулировать задачу и так:
$\frac {d\, y}{dt} + r\, f^{-1}(y(t))= {\sin(t)}$,
но первая формулировка как-то ближе к решаемой физической задаче.
Заранее благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение17.12.2014, 23:17 


15/04/12
175
они должны быть убывающими, иначе не будет сходимости решения, которое доказано Докажите существование и единственность решения (теорема Пикара-Линделёффа). А потом уже теорема Галеркина дасть схождение приближений к решению по норме. А раз есть схождение, то коэффициенты будут естественно убывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 09:43 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Пусть уравнение имеет вид
$$y'(t) + g(y) = \sin t$$
с гладкой функцией $g(\cdot)$, такой, что для некоторых $A,B > 0$
$$Az^2 \leqslant zg(z) \leqslant Bz^2$$
Периодическое решение этого уравнения на интервале $(-\pi,\pi)$ можно записать в виде
$$y(t) = a_0 + \sum \limits_{n \geqslant 1} (a_n\cos nt + b_n \sin nt )$$
Можно показать, что $|a_n|,|b_n| \leqslant C/{n^2}$.
Это верно как для решения задачи, так и для приближений по Галеркину, когда берется лишь конечный кусок ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 12:20 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Спасибо.
Цитата:
$$Az^2 \leqslant zg(z) \leqslant Bz^2$$

Понятно, гладкая функция между двумя монотонными.
Но у меня функция $g(z)$ должна быть нечетной и монотонной. Хотелось бы использовать эти свойства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 12:24 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Это условие как раз для нечетных и монотонных функций :-)
Ну, например, $g(z) = z$.
На самом деле, те условия, что я написал, весьма далеки от необходимых. Но Ваш случай они вроде бы "закрывают" и достаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 12:32 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
dikiy в сообщении #948586 писал(а):
А раз есть схождение, то коэффициенты будут естественно убывать.

Спасибо, понятно с существованием и единственностью решения.
Хотелось бы уточнить следующее (похоже, что забыл в исходной формулировке): ввиду монотонности нелинейной функции желательно установить факт монотонного убывания коэффициентов (их норм для каждой частоты $\sqrt{a_k^2+b_k^2}$).

-- 18.12.2014, 11:36 --

sup в сообщении #948746 писал(а):
На самом деле, те условия, что я написал, весьма далеки от необходимых. Но Ваш случай они вроде бы "закрывают" и достаточно.

Спасибо большое, но у Вас функции $z^2$, а если у меня $z^3$? - Это частая аппроскимация, которая встречалась в "недалекой древности" при решении близких задач с подобной нелинейностью.
Извините, если что-либо понимаю со скрипом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 12:58 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Хм, у меня в условии функция порядка $g(z) \sim z$. Как я уже говорил, эти условия далеки от необходимых. Пусть будет так
$zg(z) > Az^2$.
Я, почему-то, не написал это сразу.
Дело в том, что поведение на бесконечности вообще не имеет значения, поскольку решения ограничены константой, зависящей от $A$.
Что касается монотонного убывания, то без явного вида нелинейности доказать это, боюсь, не удастся. Примера у меня прямо сейчас нет, но мне кажется, что для некоторых $g(z)$ в решении будут встречаться гармоники с нулевой амплитудой. А значит монотонное убывание амплитуд не получится.

-- Чт дек 18, 2014 16:06:39 --

Да, похоже, для $g(z)$ достаточно лишь $zg(z) \geqslant 0$. Т.е. достаточно просто знакоопределенности. Ну и, конечно, нужна гладкость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 14:23 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
1. У меня в первом сообщении была ошибка.
Исходная нелинейная функция имеет вид:
$f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$

Цитата:
...поскольку решения ограничены константой, зависящей от $A$.

Понятно, что всегда можно подобрать эту константу, чтобы удовлетворить вышеупомянутым условиям.
Цитата:
А значит монотонное убывание амплитуд не получится.

Да, четные гармоники отсутствуют.
Может быть можно ограничиться доказательством того факта, что при отображении функцией $f(x)$ синусоиды получаются только монотонно затухающие нечетные гармоники?

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 14:47 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Цитата:
$f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$

Ну и ладно, это ничему не мешает.
Насчет четных/нечетных гармоник. Боюсь, там дело хуже. Может попозже придумаю пример - покажу. Короче, у меня большие сомнения, что в общем случае есть монотонность.
Но, как я понял, Вас общий случай и не интересует. Тогда можно попробовать такой план. Поскольку задача конкретная, то можно навычислять кучу первых гармоник, и убедиться непосредственно. А вот уже для "достаточно больших номеров" попытаться доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 15:18 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Как раз общий случай и интересует. Вычисление первых гармоник как раз и позволяет убедиться в их затухании от действия рассматриваемого вида функции. Матлаб работает "быстро", и программируется также быстро. Вот и пытаюсь доказать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 15:55 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Когда я говорил про общий случай, то имел в виду именно произвольную нелинейность $g(z)$.
Вы же, если я правильно понимаю, говорите о том, что коэффициенты $a,b$ в формуле $f(x)=a\,x + b\,\operatorname{\th(x)}$ могут принимать разные (положительные ?) значения. В этом случае Ваша гипотеза может и справедлива.
Увы, я ничего содержательного сказать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое решение нелинейного уравнения
Сообщение18.12.2014, 16:22 
Аватара пользователя


25/09/14
21
Iндепендна Юкрейна
Да, коэффициенты $a,b$ в данном случае могут быть только положительными, чтобы обеспечить монотонность. В самом простом случае это может быть кубическая парабола. Но с параболами нечетной степени как раз все ясно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group