2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Параметры
Сообщение15.12.2014, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Ну, можно, например, полный квадрат выделить (не пробовала). В конце концов, крайние значения принимаются либо в вершине параболы, либо на концах.

Можно так: записать все подозрительные значения, и наложить на них условия, что они пор модулю строго меньше двух. То есть лежат в интервале $(-2;2)$. И прийти к противоречию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение15.12.2014, 23:24 


22/11/11
380
provincialka в сообщении #946796 писал(а):
Ну, можно, например, полный квадрат выделить (не пробовала). В конце концов, крайние значения принимаются либо в вершине параболы, либо на концах.

Можно так: записать все подозрительные значения, и наложить на них условия, что они пор модулю строго меньше двух. То есть лежат в интервале $(-2;2)$. И прийти к противоречию.


Про концы и вершину я писал раньше, но что-то и там подводные камни возникли, с которыми не получилось пока что разобраться

Andrei94 в сообщении #945400 писал(а):
А, спасибо, теперь понятно.

Тогда получается, что:

$y(1)=|a+b+1|$

$y(-1)=|b-a+1|$

$x_0=-\dfrac{a}{2}$

$y(x_0)=\left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$

Тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Но как это сделать, верно ли я понимаю суть тут?


Andrei94 в сообщении #945406 писал(а):
Brukvalub в сообщении #945403 писал(а):
Вершина параболы не всегда лежит на отрезке.


Действительно, если $a\in [-2;2]$, то тогда нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$.

Если $a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, то нам нужно минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|$

Но а дальше в какую сторону думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение15.12.2014, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Тут главная идея такая. Минимальность достигается, если "отклонение" вниз и вверх одинаково (исходной параболы, без модуля). Потому что в противном случае мы можем ее пошевелить и уменьшить это отклонение. Вот и пишите равенства. Без модулей, модули раскройте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение16.12.2014, 10:34 


07/11/12
72
Andrei94 в сообщении #942375 писал(а):

2) Найти все пары $(a,b)$, для которых система

$\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a\\ 
x^2+y^2+bxy-1=0

\end{matrix}\right.$

имеет не менее 5 решений.

Есть идея разложить на множители

$\left\{\begin{matrix}
(x+y-1)(x-y+a)=0\\ 
x^2+y^2+bxy-1=0

\end{matrix}\right.$

Первое уравнение -- две перпендикулярные прямые, второе уравнение -- какая-то кривая, какая именно -- зависит от $b$.

Хотелось бы графически решить, но пока что не вижу вариантов.


Ясно, что если второе уравнение описывает кривую второй степени, то две прямые не могут иметь больше четырех точек пересечения с ней. Остается cлучай, когда второе уравнение описывает пару прямых, это будет $b=2$. Тогда второе уравнение переходит в $(x+y-1)(x+y+1)=0$, т.е. имеем две совпадающие прямые из первого и второго уравнений. Т.е. решением является пара чисел, где первое является любым числом, а второе равно двум. Аналогично рассматривается второй случай с $b=-2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение17.12.2014, 23:56 


22/11/11
380
provincialka в сообщении #947245 писал(а):
Тут главная идея такая. Минимальность достигается, если "отклонение" вниз и вверх одинаково (исходной параболы, без модуля). Потому что в противном случае мы можем ее пошевелить и уменьшить это отклонение. Вот и пишите равенства. Без модулей, модули раскройте.

Про противный случай пока что не понятно, то есть не ясно -- почему можно без модуля...

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение18.12.2014, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Ну, не знаю... Трудно объяснять очевидное. Например, надо проверить неравенство $|u|<2$. Можно его записать без модуля? Чтобы не тянуть время, отвечу: это равносильно двойному неравенству $-2 < u < 2$. Видите? Без модуля записано.

Если функция уклоняется от 0 не более, чем на 1, значит, она и "вверх" и "вниз" отличается от нуля на 1 или меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение18.12.2014, 00:26 


22/11/11
380
Можно ли вместо того, чтобы минимизировать наибольшее из чисел $|a+b+1|, |b-a+1|, \left|b-\dfrac{a^2}{4}\right|$ минимизировать отклонение от нуля чисел $a+b+1, b-a+1, b-\dfrac{a^2}{4}$ . Каждое из этих чисел содержит $b$, потому можно сравнивать $a+1, 1-a, -\dfrac{a^2}{4}$

Построим график..

Изображение

Из рисунка видно, что при $a\in[0;2]$ наибольшее из чисел будет $a+1$, при $a\in [-2;2]$, наибольшим будет $a+1$

В ту ли сторону думаю? Только как учесть $b$ и отклонение от нуля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение18.12.2014, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Можно. Но не нужно. Нужно прямо сам многочлен минимизировать. В смысле, его отклонение от 0:
Andrei94 в сообщении #945393 писал(а):
Найдите все числа $a$ и $b$, для которых наибольшее значение функции $y=|z^2+az+b|$ на отрезке $[-1;1]$
является наименьшим.

То есть надо расположить график параболы $z^2+az+b$ так, чтобы отклонение "вверх" и "вниз" от оси $Ox$ было поменьше.

Если вы нарисуете параболу слишком высоко, то отрицательные значения будут маленькими, зато положительные большими.

Если опустите слишком низко - будут слишком большими отрицательные значения.

Значит, нужно равновесие: отклонение и вверх, и вниз одинаково.

Для случая, когда вершина параболы на отрезке:
Подумайте, почему значения на концах отрезка должны совпадать. Пошевелите параболу влево-вправо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение18.12.2014, 01:25 


22/11/11
380
Спасибо!

$y(z)=z^2+az+b$

$y(1)=1+a+b$

$y(-1)=1-a+b$

$z(x_0)=b-\dfrac{a^2}{4}$

Отклонение минимально, когда $1+a+b=1-a+b=b-\dfrac{a^2}{4}$, то есть при $a=0$, а тогда с $b$ случается накладочка. Или должно быть $|1+b|=|b|$? Тогда $b=-0,5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметры
Сообщение18.12.2014, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10852
Казань
Ага! $y(z_0)=-y(1)$
Вообще говоря, надо еще показать, что вершина параболы должна лежать внутри отрезка. А в противном случае разброс значений будет больше.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group