Здравствуйте. Задали такую задачу решить:
Задано уравнение:
![\[{z^4} + (1 + i){z^3} + (44 + i){z^2} + (44 + 7i)z + 7i = 0\] \[{z^4} + (1 + i){z^3} + (44 + i){z^2} + (44 + 7i)z + 7i = 0\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/3/9a3ed87f2d06ce28e9d0ffc02aab66c182.png)
Нужно найти корни, лежащие в области
![\[D = \{ z:|z + 2| > 1\} \] \[D = \{ z:|z + 2| > 1\} \]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/6/a360050e6d9c356aaaa69102052da1a982.png)
Решаем с помощью теоремы Руше:
Полиномы аналитичны на всей комплексной плоскости, поэтому сразу перейду к неравенству:
Если
![|\varphi (z)| < |\psi (z)| |\varphi (z)| < |\psi (z)|](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/c/56c4bad080176b602611fc72e407e2ec82.png)
на границе области, то
![\varphi (z) + \psi (z) \varphi (z) + \psi (z)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/1/bf17cdc842d1236e51aa8a1f2f7c745182.png)
и
![\psi (z) \psi (z)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/b/b2be5bba9ec8bd31284d139b6123a64382.png)
имеют одинаковое количество нулей в области с учетом порядков
Так вот. Я взял первые два слагаемых в качестве
![\varphi (z) \varphi (z)](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45e48c723fba914d077f694012c8ccb982.png)
, а последние 3 в качестве
![\psi (z) \psi (z)](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/b/b2be5bba9ec8bd31284d139b6123a64382.png)
. Оценка сверху у первой функции получилась больше, чем оценка снизу у второй. Причем я пользовался только неравенствами треугольника. Видимо, как-то по-другому разбить надо, но как, я не знаю.
Прошу помочь, пожалуйста.