2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 краевая задача, метод Фурье
Сообщение15.12.2014, 09:46 


10/06/13
93
готовлюсь к кр по мат. физике, начал решать методом Фурье и застопорился, очень нужна помощь:
$\left\{\begin{aligned}&u_{tt}-u_{xx}-6u_{x}+2u_{t}+u+2=x+2t+e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&u(0,t)=2t,\ u(\pi,t)=\pi+2t\\&u(x,0)=x,\ u_t(x,0)=2+3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Решение ищем в виде $U(x,t) = V(x,t)+(2t+x)$, подставляем в уравнение, получаем:

$\left\{\begin{aligned}&v_{tt}-v_{xx}-6v_{x}+2v_{t}+v=\cos(7x)\sin(x)\\&v(0,t)=0,\ v(x,0)=0\\&v(\pi,t)=0,\ v_t(x,0)=3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)$ \end{aligned}\right.$

Теперь решаем вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля для нахождения ортогональной системы функции, по которой будем раскладывать решение. Для этого отбрасываем неоднородный член и разделяем переменные:

$X''T+6X'T=XT''+2XT'+XT$

$ \frac{T''+2T'+T}{T}=\frac{X''+6X'}{X}=-\lambda $

здесь и возникла проблема, по идее должен был получить задачу Штурма-Лиувилля, а вместо этого что-то непонятное.
прошу помочь мне, в субботу кр и хотелось бы научиться решать такие задачи.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2014, 09:48 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Исходную задачу тоже наберите в тексте сообщения. Картинку нужно убрать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2014, 11:53 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: краевая задача, метод Фурье
Сообщение15.12.2014, 12:29 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Уравнение необходимо было бы привести к каноническому виду

 Профиль  
                  
 
 Re: краевая задача, метод Фурье
Сообщение15.12.2014, 12:33 


10/06/13
93
cool.phenon, и тогда методом Фурье это уравнение можно будет решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: краевая задача, метод Фурье
Сообщение15.12.2014, 12:35 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Ну да, тогда исчезают младшие производные, задача на собственные значения получит привычный вид

 Профиль  
                  
 
 Re: краевая задача, метод Фурье
Сообщение16.12.2014, 02:16 


10/06/13
93
cool.phenon, кое-что решил можете проверить?

$\left\{\begin{aligned}&u_{tt}-u_{xx}-6u_{x}+2u_{t}+u+2=x+2t+e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&u(0,t)=2t,\ u(\pi,t)=\pi+2t\\&u(x,0)=x,\ u_t(x,0)=2+3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Решение ищем в виде $U(x,t) = V(x,t)+(2t+x)$, подставляем в уравнение, получаем:

$\left\{\begin{aligned}&v_{tt}-v_{xx}-6v_{x}+2v_{t}+v=e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&v(0,t)=0,\ v(x,0)=0\\&v(\pi,t)=0,\ v_t(x,0)=3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)$ \end{aligned}\right.$

далее избавляемся от младших производных при помощи функции: $V(x,t)=F(x,t)e^{-3x-t}$ и получаем:
$\left\{\begin{aligned}&F_{tt}-F_{xx}+8F=e^{t}\cos(7x)\sin(x)\\&F(0,t)=0,\ F(\pi,t)=0\\&F(x,0)=0,\ F_t(x,0)=3\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Теперь решаем вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля для нахождения ортогональной системы функции, по которой будем раскладывать решение. Для этого отбрасываем неоднородный член и разделяем переменные:

$XT''=X''T+8XT$

$\frac{T''}{T}=\frac{X''-8X}{X}=-\lambda$

получаем задачу Штурма-Лиувилля:
$\left\{\begin{aligned}&X''-X(8+\lambda)=0 \\&X(0)=X(\pi)=0&\end{aligned}\right.$
и решение:$\lambda_n=n^2-8; X_n(x)=\sin(nx)$

 Профиль  
                  
 
 Re: краевая задача, метод Фурье
Сообщение16.12.2014, 03:45 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Похоже на правду, грубых ошибок здесь точно нет :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group