2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:23 


02/08/07
92
Здравствуйте!

Мне необходимо решить дифференциальное уравнение Дуффинга, имеющее следующий вид:

$ \frac {d^2 x} {dt^2 } + x + \varepsilon x^3 = \gamma cos(\Omega t)$.

Я пробовал искать решение по методу малого параметра в виде

$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$ , но получаются громоздкие выражения, с которыми у меня ничего не получается. Подскажите, пожалуйста, с чего надо начать.

Заранее спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
C $x_1$, разумеется. Что это такое? Вы его нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:31 


02/08/07
92
ИСН в сообщении #946465 писал(а):
C $x_1$, разумеется. Что это такое? Вы его нашли?


Простите, не очень понял. Нашли что именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$x_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:38 


02/08/07
92
ИСН в сообщении #946473 писал(а):
$x_1$.

ok, а алгоритм решения верный, на Ваш взгляд? В таком виде нужно искать решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение14.12.2014, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
В каком угодно, смотря чего хотите. Можно и в таком, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение15.12.2014, 16:11 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Dmitrii в сообщении #946461 писал(а):
$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$ , но получаются громоздкие выражения

Почему $ \varepsilon^2 $? Если есть начальные условия, то ими можно воспользоваться и кое-что упростится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение15.12.2014, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Dmitrii в сообщении #946461 писал(а):
$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$

Ну и как же $\varepsilon^2 x_2$ скомпенсирует $\varepsilon x_1^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение15.12.2014, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
А, ну да, разумеется. Это я как-то упустил из виду. Поправки начинаются с первой степени $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение15.12.2014, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
На самом деле упражнение не для слабонервных даже без правой части: хотя тогда $x_1$ содержит только гармонику с частотой $1$, $x_1^3$ будет содержать гармоники частоты $3$ и $1$—и вот эта даст в $x_2$ члены типа $t\cos(t)$ и $t\sin (t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение Дуффинга
Сообщение15.12.2014, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
О, сколько граблей расставлено на пути ТС... Сперва ему нужно научиться без ошибок находить решение в виде асимптотического ряда путём прямого разложения. Потом - убедиться, что прямое разложение в случае уравнения Дуффинга не приводит к равномерно пригодному ряду. Потом - понять, что причина неудачи кроется в неизохронности колебаний осциллятора Дуффинга. Потом - разобраться с каким-нибудь методом, позволяющим означенную неизохронность учесть. Например, Линштедта - Пуанкаре.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group