2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 10:58 


15/12/14
8
Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве неравенства методом так называемой обратной индукции.
Краткая суть задачи:

Есть неравенство:
$P(n):x_1\dots x_n \leqslant \left ( \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \rigth )^n$
Требуется его доказать методом обратной индукции и даже указан путь:
а) $P(2)$ - очевидно выполняется.
б) Из предположения что $x_n=\frac{x_1+\cdots+x_{n-1}}{n-1}$ вывести, что из $P(n)\Rightarrow P(n-1)$.
в)Вывести что из $P(2)$ и $P(n)$ следует $P(2n)$.
г)На чем вообщем-то согласиться, что неравенство доказано.

Собственно вопрос:
Во всем доказательстве смущает один момент: существенно ли предположение для $x_n$ в пункте б): если его убрать, не разваливается ли все доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4552
Нов-ск
korenpw2 в сообщении #946699 писал(а):
Собственно вопрос:
Во всем доказательстве смущает один момент: существенно ли предположение для $x_n$ в пункте б): если его убрать, не разваливается ли все доказательство.
Как в неразваленном доказательстве доказывается, что верно $P(5)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 11:51 


15/12/14
8
Ну как я понял из хода доказательства, цепочка такая:
$P(2) \Rightarrow P(4) \Rightarrow P(3) \Rightarrow P(6) \Rightarrow P(5) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4552
Нов-ск
korenpw2 в сообщении #946712 писал(а):
Ну как я понял из хода доказательства, цепочка такая:
$P(2) \Rightarrow $P(4) $\Rightarrow P(3) \Rightarrow P(6) \Rightarrow P(5)$
Здесь используется пункт б), который доказывается с помощью полагания $x_n= \dots$
Так в чем был вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 12:14 


15/12/14
8
На каком основании вообще можно делать такое пологание?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 12:21 


04/03/09
631
На основании предположения индукции. Мы утверждаем, что $P(n)$ верно для любого набора $x_i$, в частности и для такого, что $x_1..x_{n-1}$ - любые, а $x_n=\frac{x_1+...+x_{n-1}}{n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конкретная математика Упражнение 1.9
Сообщение15.12.2014, 12:38 


15/12/14
8
Согласен. Ситуация прояснилась. Всем спасибо. Особенно 12d3.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group