краевая задача, метод Фурье

[Antichny]

готовлюсь к кр по мат. физике, начал решать методом Фурье и застопорился, очень нужна помощь:
$\left\{\begin{aligned}&u_{tt}-u_{xx}-6u_{x}+2u_{t}+u+2=x+2t+e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&u(0,t)=2t,\ u(\pi,t)=\pi+2t\\&u(x,0)=x,\ u_t(x,0)=2+3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Решение ищем в виде $U(x,t) = V(x,t)+(2t+x)$, подставляем в уравнение, получаем:

$\left\{\begin{aligned}&v_{tt}-v_{xx}-6v_{x}+2v_{t}+v=\cos(7x)\sin(x)\\&v(0,t)=0,\ v(x,0)=0\\&v(\pi,t)=0,\ v_t(x,0)=3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)$ \end{aligned}\right.$

Теперь решаем вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля для нахождения ортогональной системы функции, по которой будем раскладывать решение. Для этого отбрасываем неоднородный член и разделяем переменные:

$X''T+6X'T=XT''+2XT'+XT$

$ \frac{T''+2T'+T}{T}=\frac{X''+6X'}{X}=-\lambda $

здесь и возникла проблема, по идее должен был получить задачу Штурма-Лиувилля, а вместо этого что-то непонятное.
прошу помочь мне, в субботу кр и хотелось бы научиться решать такие задачи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Исходную задачу тоже наберите в тексте сообщения. Картинку нужно убрать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[cool.phenon]

Уравнение необходимо было бы привести к каноническому виду

[Antichny]

cool.phenon, и тогда методом Фурье это уравнение можно будет решить?

[cool.phenon]

Ну да, тогда исчезают младшие производные, задача на собственные значения получит привычный вид

[Antichny]

cool.phenon, кое-что решил можете проверить?

$\left\{\begin{aligned}&u_{tt}-u_{xx}-6u_{x}+2u_{t}+u+2=x+2t+e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&u(0,t)=2t,\ u(\pi,t)=\pi+2t\\&u(x,0)=x,\ u_t(x,0)=2+3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Решение ищем в виде $U(x,t) = V(x,t)+(2t+x)$, подставляем в уравнение, получаем:

$\left\{\begin{aligned}&v_{tt}-v_{xx}-6v_{x}+2v_{t}+v=e^{-3x}\cos(7x)\sin(x)\\&v(0,t)=0,\ v(x,0)=0\\&v(\pi,t)=0,\ v_t(x,0)=3e^{-3x}\sin(3x)\cos(x)$ \end{aligned}\right.$

далее избавляемся от младших производных при помощи функции: $V(x,t)=F(x,t)e^{-3x-t}$ и получаем:
$\left\{\begin{aligned}&F_{tt}-F_{xx}+8F=e^{t}\cos(7x)\sin(x)\\&F(0,t)=0,\ F(\pi,t)=0\\&F(x,0)=0,\ F_t(x,0)=3\sin(3x)\cos(x)\end{aligned}\right.$

Теперь решаем вспомогательную задачу Штурма-Лиувилля для нахождения ортогональной системы функции, по которой будем раскладывать решение. Для этого отбрасываем неоднородный член и разделяем переменные:

$XT''=X''T+8XT$

$\frac{T''}{T}=\frac{X''-8X}{X}=-\lambda$

получаем задачу Штурма-Лиувилля:
$\left\{\begin{aligned}&X''-X(8+\lambda)=0 \\&X(0)=X(\pi)=0&\end{aligned}\right.$
и решение:$\lambda_n=n^2-8; X_n(x)=\sin(nx)$

[cool.phenon]

Похоже на правду, грубых ошибок здесь точно нет