2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 16:12 


20/11/14
89
Есть многочлен $f = x^p-x+a, a\ne 0$, требуется показать, что он неприводим над $\mathbb{F}_p$
Мне удалось показать, что $f(x) \equiv f(x+1)$ и на этом мое решение что-то застопорилось.
Получается, что если $f \equiv gh$, то $a \equiv g_{0}h_{0}$ и наверное надо показать, что один из них должен быть равен нулю, но что-то не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 17:49 
Заморожен


20/12/10
5623
Вообще говоря, есть критерий неприводимости многочлена над конечным полем, и в данном случае можно просто воспользоваться этим критерием. Но можно и развить это соображение:
pooh__ в сообщении #946162 писал(а):
Мне удалось показать, что $f(x) \equiv f(x+1)$
Предположите, от противного, что $f(x)$ имеет нетривиальный делитель $g(x)$. Какие тогда ещё делители будут у $f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 18:31 


20/11/14
89
Ну а вот если так:
Пусть $\alpha$ корень нашего многочлена из какого-то расширения(по малой теореме ферма в исходном поле у него корней нет). Посчитав производную убеждаемся, что кратных корней тоже нет. По сказанному выше $\alpha +1, ..,\alpha + p - 1$ тоже корни. Т.е $$g = \prod\limits_{k}^{}(x-(\alpha + s_k))$$.
По теореме Виета(?) $\sum\limits_{}^{}(\alpha + s_k) \in \mathbb{F_{p}} $, что равносильно $deg(g)\alpha \in \mathbb{F_{p}} $ и тут противоречене типо получаем.
Но как-то сомнительно выглядит да и хотелось бы без расширений обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 18:58 
Заморожен


20/12/10
5623
pooh__ в сообщении #946287 писал(а):
Но как-то сомнительно выглядит
Нормально выглядит. Без расширений можно обойтись, если заметить, что вместе с $g(x)$ неприводимыми делителями $f(x)$ будут все $g(x+k)$, $k \in \mathbb{F}_p^*$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 19:36 


20/11/14
89
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group