2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение09.11.2014, 23:32 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуйте, участники форума. Мне нужно классифицировать конечные подгруппы группы $GL_2(\mathbb{Q})$. В общем, я получил, что если $G$ - конечная подгруппа группы $GL_2(\mathbb{Q})$, то $|G| = 2^a 3^b$. Теперь нужно как-то точнее указать эти $a,b$.
Хочу посмотреть 2-группы.
a) Пусть порядок = 2. Тогда $G$ изоморфны $C_2$, где $C_2$ - циклическая группа.
b) порядок = 4. Тогда из циклических групп нам подходит $C_4$. Далее, нужно показать,что из нециклических абелев групп нам подходит только $V_4$ - группа Клейна.
Пока вот это :oops: по ходу, если будут ответы и будет интерес участников, еще буду вопросы )) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение10.11.2014, 00:06 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Если $a$ - элемент конечного порядка в $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q})$, то жорданов вид для $a$ - диагональная матрица, а собственные числа, стоящие на диагонали, - корни квадратного уравнения. Откуда у Вас тройка вылезла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение10.11.2014, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
AV_77 в сообщении #929027 писал(а):
Откуда у Вас тройка вылезла?
Вот вам трёхчлен $x^2+x+1$, вот вам матрица
$$\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & -1 
\end{pmatrix}$$

-- Пн ноя 10, 2014 00:56:58 --

А! Ну тогда можно получить, что $b\leq 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение10.11.2014, 18:44 
Заслуженный участник


11/11/07
1192
Москва
Nemiroff в сообщении #929039 писал(а):
Вот вам трёхчлен $x^2+x+1$

Да, что-то я упустил, что первообразные корни 3-й и 6-й степеней являются корнями многочлена второй степени :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение15.11.2014, 12:23 


26/08/09
197
Асгард
Что-то я не уловил насчет $b \leq 1$... :oops: И все-таки еще насчет группы Клейна ) и, вообще, насчет 2-групп. Я хочу получить ограничение на $a$. А вообще, что будет нашим критерием принадлежности той ил иной группы к подгруппе главной линейной группы ? :D Просто, например, группа $C_4 \times C_2$ тоже не подходит (это относительно подгрупп порядка 8)..

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение15.11.2014, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
3.14 в сообщении #931238 писал(а):
Что-то я не уловил насчет $b \leq 1$... :oops:
Ну вы же можете доказать, что $C_9$ не является подгруппой. А ещё вы можете доказать, что $C_3\times C_3$ не является подгруппой. А ещё теорема Силова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение23.11.2014, 15:16 


26/08/09
197
Асгард
Здравствуй. Я хочу поговорить насчет того, что $b \leq 1$.
1. Там с помощью матрицы
$$
g =
\begin{pmatrix}
0  & -1 \\
1 & -1 
\end{pmatrix}
$$
Порядок $g$ равен 3. Нужно найти матрицу $h$ :
1) $ord(h) = 3$.
2) $gh = hg$.
3) $h$ - не степень $g$.
В общем, не удалось найти такую матрицу $h$. Значит, $C_3 \times C_3$ не подгруппа.
2. Теперь насчет $C_9$. Можно показать, что любой элемент конечного порядка $g \in GL_2(\mathbb{Q})$ будет лежать в $SL_2(\mathbb{Q})$. Но в $SL_2(\mathbb{Q})$ все конечные подгруппы известны и среди них нет $C_9$. Значит $C_9$ нам тоже не подходит. (вроде, правильно ? :oops: ).
Получили, что 9 не делит порядок конечной подгруппы, значит (теорема Силова) $b \leq 1$.
Хотел получить подсказку насчет 2-групп. Нужно ограничение на $a$ :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение23.11.2014, 21:30 


26/08/09
197
Асгард
Так..теперь с 2-подгруппами.
1. Пусть $G$ подгруппа порядка 2. Как и выше, $C_2$ - подходит.
2. Далее, $G$ - порядка 4. $C_4$ - подходит. Потом, рассмотрим группу Кляйна $V_4$. Она, вроде, подходит. Вот такие матрицы :
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\ 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\ 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1 \\ 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\ 
\end{pmatrix}.
$$
3. Далее, порядок $2^3 = 8$. $C_8$ не подходит. Теперь, $C_4 \times C_2$. Вот почему это не подходит ? )

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение14.12.2014, 16:17 


26/08/09
197
Асгард
Так-с, вроде с $C_4\times C_2$ разобрался. Теперь не могу показать, что группа кватернионов $Q_8$ не лежит в $GL_2(\mathbb{Q})$. Надеюсь на подсказку :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Классификация конечных подгрупп главной линейной группы.
Сообщение14.12.2014, 16:26 
Модератор


20/03/14
7231
 i  Заводим отдельную тему, приводим свои соображения. Закрыто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group