2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 11:56 


14/12/14
5
Добрый вечер!
Заинтересовался сложной задачей ЕГЭ по математике, звучит так:

1) Существует ли 4 различных числа таких, что если выбрать любое из этих чисел,
то оно равно сумме каких-то трёх других из этих чисел.

2) При каком наименьшем $n$ существует $n$ различных чисел таких, что если выбрать любое из этих чисел,
то оно равно сумме каких-то трёх других из этих чисел.


Собственно, первый пункт понятен, составляем систему и доказываем, что она имеет только нулевое решение,
а это условию не подходит. Но как действовать со вторым случаем: пробовал - ничего не получилось. Если подскажите, буду очень благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
Решения пока не знаю, но, может, попробовать соображения порядка? Например, попробовать найти решение для $n=5$. Искать его в виде набора чисел $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$.

Зная эти соотношения, можно упорядочить и суммы по три.

(Оффтоп)

А! Это рассуждение сразу показывает, что пяти чисел мало!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13105
с Территории
Да... Непонятно как-то, что с этим делать.
$-2,-1,-1,0,1,1,2$ - это для себя, чтобы понять, что в принципе такое бывает. Слово "различных" в условии я видел, но пока игнорирую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 13:15 


14/12/14
5
$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ - подходят и разные :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
FedorTokarev, у меня точно такой же пример. А доказали, что меньше 7 чисел нельзя? Там все довольно элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 13:24 


14/12/14
5
Доказал, что для 5 нельзя, упорядочив их, а для 6 пока думаю, чтобы не рассматривать все случаи.
Может, какую подсказочку дадите? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
Могу. Рассмотрите, например, наименьшее число. Оно равно сумме трех других. Какая из этих сумм наименьшая?

(Оффтоп)

Получается, что $x_2+x_3+x_4 \leqslant x_1<x_2$. И еще подобные неравенства можно записать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про числа
Сообщение14.12.2014, 14:02 


14/12/14
5
Спасибо большое Вам, provincialka! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group