2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение08.12.2014, 23:23 


13/04/12
60
Lviv
Здраствуйте, уважаемые форумчане.
Есть такое школьное упражнение:
Решить уравнение $\arccos(\sin(x))=\frac{x}{2}$. В ответ записать значение $\frac{S}{\pi},$ где $S$ -- сумма всех корней уравнения.

Вот что я делаю:
Поскольку $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$, то $\arccos(\sin(x))=\frac{\pi}{2}-\arcsin(\sin(x))$

Имеем:
$\frac{\pi}{2}-\arcsin(\sin(x)) = \frac{x}{2}$

Дальше, я знаю, что $\arcsin(\sin(x))=x,$ если $-\frac{\pi}{2}\leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$
В таком случае, я нахожу только один корень:
$\frac{\pi}{2}-x=\frac{x}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}$

А как найти другие корни? Их всего есть три, я их нашел при помощи графика в Maple. Но как это показать аналитически, что-то не могу додуматься.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение08.12.2014, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10813
Казань
А вы график левой части пробовали рисовать? (можно и вручную :-) )

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение09.12.2014, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1204
Самара
Используя ограниченность арксинуса, можно понять в каком отрезке искать корни. И рассмотреть все возможные случаи раскрытия $\arcsin(\sin x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение09.12.2014, 02:12 
Аватара пользователя


01/12/06
504
Кишинёв
Есть смысл начинать с определения арккосинуса. Определения надо знать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение09.12.2014, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4551
Нов-ск
amoral10 в сообщении #942733 писал(а):
А как найти другие корни? Их всего есть три, я их нашел при помощи графика в Maple. Но как это показать аналитически, что-то не могу додуматься.
Откосинусируйте обе части равенства $\arccos(\sin(x))=\frac{x}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия. Арккосинус синуса
Сообщение13.12.2014, 16:38 


13/04/12
60
Lviv
TOTAL, вот оно, спасибо!
Все гениальное - просто. Как я этого не увидел?! )))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group