2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:13 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Демидович 1997, 2608
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, если $a_n=(1/n^p) \sin{\frac{\pi}{n}}$

Указанный в условии ряд сравниваю с обобщенным гармоническим $b_n=1/n^p < a_n$, который сходится при $p > 1$. Значит, исходный ряд также должен сходиться при $p > 1$. Но в ответе написано, что ряд сходится при $p>0$. Почему? Ведь обычный гармонический ряд $1/n \ (p=1)$ не сходится.

UPD: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Su ... nity%7D%5D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:19 
Заслуженный участник


12/09/10
1459
А еще ряд можно было сравнить с $b_n=1$, который расходится при любом $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:25 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Не понял, вы имеете в виду, что ряд нельзя сравнить с гармоническим? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:26 
Заслуженный участник


09/05/13
6253
kis
Другую теорему сравнения используйте. Шустрее будет.
kis в сообщении #943537 писал(а):
Значит, исходный ряд также должен сходиться при $p > 1$.

(Но это не значит, что он не может сходиться при $p=1/2$, правда?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:46 


18/05/12
335
\sqrt{ !}
Ааа, я понял. Если заменить последовательность эквивалентной, то все получится хорошо.

Я сравнивал исходный ряд с гармоническим:
$a_n=(1/n^p) \sin{\frac{\pi}{n}} <  1/n^p = b_n$
Из этого неравенства можно сделать вывод, что ряд сходится при $p>1$. Но про область $p\leqslant 1$ ничего определенного сказать нельзя.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13106
с Территории
Смешно: выходит, $\sum{\sin{1\over n}\over n^p}$ и $\sum{\sin n\over n^p}$ сходятся в одних и тех же областях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение10.12.2014, 19:54 
Заслуженный участник


11/05/08
30617
kis в сообщении #943537 писал(а):
Но в ответе написано, что ряд сходится при $p>0$. Почему?

Потому, что синус -- он сильно-сильно маленький. И это хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group