Разложение функции в ряд Тейлора

[Dellghin]

Здравствуйте! Нужно разложить функцию $\frac{x}{e^x -1}$ до члена с $x^4$ в точке $0$. Я разложил до вида $\frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)}$. Но в ответе $1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x^4}{720}+o(x^4)$. Как привести то выражение к такому виду?

[ИСН]

Начну издалека. Человека попросили разложить $1\over1-x$ по степеням x. Сможет человек это сделать, или нет?

[Dellghin]

$\frac{1}{1-x}$ в нуле определена, а $\frac{x}{e^x - 1}$ - нет. В этом и проблема.

[gris]

А можно ещё издалека?
Человека попросили найти значение $234:749$ с точностью до четвёртого зпт. Сможет ли он это сделать?

[ИСН]

Dellghin в сообщении #943620 писал(а):

$\frac{1}{1-x}$ в нуле определена, а $\frac{x}{e^x - 1}$ - нет. В этом и проблема.

Каким образом эта проблема мешает Вам выполнить некие формальные действия, которые возможны в любом случае?

[Dellghin]

То есть нужно представить функцию в виде $\frac{1}{1+t}$, где $t=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)$, разложить её до $x^4$ и получившиеся степени снова разложить?

[ИСН]

Как-то так, да.

[provincialka]

Чтобы не закопаться в вычислениях, надо вовремя отбрасывать слишком большие степени.

Поэтому мне больше нравится намек gris.

[gris]

Моя молитва недоходна Знать, мало Фихнетгольца читаю.
Хотя мне кажется, что ИСН на это и намекал. А то как бы я догадался? Можно неопределённые коэффициенты попробовать. Да хоть бы и напрямую, через производные (их пределы).

[Dellghin]

Там получаются 2, 3, 4 степень у $t$. Можно их как-нибудь проще раскрыть?

[ИСН]

Проще чем что?

[Dellghin]

Не раскрывая $(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120})^2$, куб и четвертую степень.

[ИСН]

Это смотря что Вы понимаете под словом "раскрыть". Тут есть варианты.

[provincialka]

Dellghin, а мы с gris вам не понравились (в смысле, наш совет)? Или вы его не поняли? Все гораздо проще, уверяю вас.
Что касается степеней, подумайте, какие слагаемые нам нужно учитывать в выражении $(x+ax^2+bx^3+cx^4+o(x^4))^4$? Все ли слагаемые в скобках важны?

[Dellghin]

provincialka, то есть нужно учесть все степени, меньшие пяти.