Трисекция угла

[M-A-E]

Может я написал не в этот раздел, но все же. Интересует полное доказательство невозможности трисекции угла, предложенное Ванцелем, или более поздние варианты. Желательно ссылки на литературу
Всякие псевдонаучные доказательства о разрешимости этой задачи неинтересны.

[maxal]

Доказательство буквально пара строчек - см. например:
http://tambov.fio.ru/vjpusk/vjp054/rabot/34/s8.html

[M-A-E]

maxal
Это не полное доказательство --- посмотрите сами. Заслуживающий внимания последний абзац указанной статьи является очень сокращенным вариантом доказательства неразрешимости поставленной задачи для угла в 60 градусов, предложенным Курантом, Роббинсом в книге "Что такое математика".

[Echo-Off]

M-A-E, доказательство неразрешимости $x^3-3x-1=0$ в квадратных радикалах следует из теории Галуа, а именно, из того факта, что если $L$ - поле разложения многочлена $f$ над $\mathbb{Q}$, то разрешимость $f=0$ в квадратных радикалах эквивалентна тому, что $\dim_{\mathbb{Q}}L=2^n$ для некоторого $n$.

[maxal]

Доказательство невозможности трисекции угла с помощью циркуля и линейки базируется по сути на двух утверждениях:

1. С помощью циркуля и линейки можно построить угол $\alpha$ тогда и только тогда, когда $\cos \alpha$ выражается в квадратных радикалах.

2. $\cos\frac{\pi}{9}$ является корнем уравнения $x^3-3x-1=0$ и не выражается в квадратных радикалах.

Гаусс и Ванцель доказали более сильный результат. А именно они дали явное описание всех таких $n$, что $\cos\frac{\pi}{n}$ выражается в квадратных радикалах: они имеют вид $n=2^k p_1\dots p_m$, где $p_i$ - различные простые Ферма. При этом Гаусс доказал достаточность, а Ванцель необходимость этого условия.

Доказательство какого конкретно утверждения вас интересует?

P.S. Переношу тему в корень.

[M-A-E]

maxal

Цитата:

Доказательство какого конкретно утверждения вас интересует?

Все приведенные вами утверждения очень интересны.
Я бы хотел найти и разобрать доказательство 1ого утверждения...
Результат, полученный Гауссом и Ванцелем, мне еще более интересен ...

[maxal]

Начните с этой книжки:
Прасолов В. В. Три классические задачи на построение.

[M-A-E]

maxal
Уже прочитал)))

[M-A-E]

Спасибо maxal и Echo-Off за конструктивные ответы.

Доказательство интересующих меня фактов нашел у ван дер Вардена в "Алгебре".

[soracx]

M-A-E писал(а):

Может я написал не в этот раздел, но все же. Интересует полное доказательство невозможности трисекции угла, предложенное Ванцелем, или более поздние варианты. Желательно ссылки на литературу
Всякие псевдонаучные доказательства о разрешимости этой задачи неинтересны.

Почему вы решили что трисекция невозможна, я еще давно видел разные методы доказывающие, что это возможно, даже без циркуля (только линейка с засечками) - во посмотрите одно из них:
http://www.geom.uiuc.edu/docs/forum/angtri/

[нг]

soracx писал(а):

Почему вы решили что трисекция невозможна,

Потому, что когда говорят о трисекции угла, имееют в виду вполне конкретную задачу: трисекция произвольного угла при помощи циркуля и односторонней линейки без засечек.

P.S. Вы бы ещё транспортир предложили

[soracx]

нг писал(а):

soracx писал(а):

Почему вы решили что трисекция невозможна,

Потому, что когда говорят о трисекции угла, имееют в виду вполне конкретную задачу: трисекция произвольного угла при помощи циркуля и односторонней линейки без засечек.

P.S. Вы бы ещё транспортир предложили

Вы действительно уверены, что читали оригинальный текст с конкретной постановкой задачи? Там написано что именно нужно делать с линейкой, циркулем, или Вы просто подразумеваете привычное для Вашего опыта использование этих инструментов? Если бы Вы повнимательнее прочитали постановку первой из задачь, на указаной мной ссылке, то убедились бы, что даже засечки не нужны для решения этой задачи. В чем Я неправ?

[нг]

soracx писал(а):

Вы действительно уверены, что читали оригинальный текст с конкретной постановкой задачи?

Я читал вопрос M-A-E.

soracx писал(а):

Если бы Вы повнимательнее прочитали постановку первой из задачь, на указаной мной ссылке, то убедились бы, что даже засечки не нужны для решения этой задачи. В чем Я неправ?

В том, что выбираете в прочитанном то, что Вас устраивает.

Bob Hesse писал(а):

Why tell people it is impossible to trisect an angle via straightedge and compass? Instead we could say it is possible to trisect an angle, just not with a straightedge and a compass.

Translating:
Why to bother with a problem we cannot solve? We should tell everyone we can solve a different problem.

[M-A-E]

soracx

Цитата:

Почему вы решили что трисекция невозможна, я еще давно видел разные методы доказывающие, что это возможно, даже без циркуля (только линейка с засечками)

В оригинальной постановке задачи линейка без засечек, она служит только для проведения прямых линий, никакие другие операции с ней нельзя выполнять.
В той ссылке, которую вы указали одно из решений сводится к тому, что надо вставить отрезок, равный данному --- эта операция легко выполняется с помощью линейки с засечкой, а вот без засечек это никому не удалось еще сделать))). Второе решение тоже имеет место только со вспомогательными инструментами.
Если у вас есть возражения, то поделите угол в $\frac{\pi}{3}$ на три части.

Возник еще вопрос:
Существуют ли работы, исследующие делимость углов на 5 частей?
Например угол в 75 градусов можно и построить,и поделить на 5 равных частей. Скорее всего общего исследования нет, т.к. связано с решением уравнения степени больше 4, но возможно вы встречали частные попытки... было бы интересно на них взглянуть.

[BVR]

Не понятен предмет спора. Существуют же системы аксиом для каждой из задач на построение. В пединститутских курсах геометрии боль-мень подробно:
Атанасян Л. С., Базылев В. Т. , Геометрия. Ч. 1, гл. ХII, параграф 96 (я ещё не научился пользоваться возможностями редактирования:oops: )
Формулировка задачи на построение обязательно должна содержать и средство построения.
Например, задача об удвоении куба не разрешима циркулем и линейкой, с помощью шаблона кубической параболы - разрешима (кажется).