2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемость функции нескольких переменных
Сообщение05.12.2014, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4877
$\frac{\frac{}{}}{}$Пытаюсь разобраться, в каком случае функция нескольких переменных называется дифференцируемой.

В классической книжке Ильина и Позняка "Основы математического анализа" приведено такое определение, цитирую:

Функция $u = f(x_1, x_2, ... x_n)$ называется дифференцируемой в т. $M(x_1, x_2, ... x_n)$, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде
$$
\Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + \alpha_1 \Delta x_1 + \alpha_2 \Delta x_2 + ... + \alpha_n \Delta x_n
$$
где $A_1, A_2, ... A_n$ - некоторые не зависящие от $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ числа, а $\alpha_1, \alpha_2 , ...  \alpha_n$ - бесконечно малые при $\Delta x_1 \to 0, \Delta x_2 \to 0, ... \Delta x_n \to 0$ функции, равные нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$.

Мне кажется, что это неаккуратное определение в том смысле, что:

1) неясно, требуется ли независимость $A_k$ только от $\Delta x_k$, или от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$
2) неясно, является ли $\alpha_k$ функцией одного приращения $\Delta x_k$, или функцией всех приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$
3) неясно, стремится ли $\alpha_k$ к нулю уже при условии $\Delta x_k \to 0$ независимо от поведения остальных приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_{k-1}, ... \Delta x_{k+1}, ..., \Delta x_n$, или требуется чтобы все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремились к нулю одновременно.

Я пытался уточнить определение по другим учебникам, но все они воспроизводят И. и П. дословно.
Тогда я попробовал разобраться, исходя из доказываемых далее теорем. Судя по тому, что $A_k$ есть частная производная по $x_k$, требуется, чтобы $A_k$ было независимо от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, а не только от "родного" приращения $\Delta x_k$.
Кроме того, И. и П. утверждают, что условие дифференцируемости можно представить в виде
$$
\Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + o(\rho)
$$
где $\rho$ - расстояние между точками $M(x_1, x_2, ... x_n)$ и $N(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, ... x_n + \Delta x_n)$. При этом функция $\alpha_k$ представляется как $\frac{o(\rho)}{\rho^2} \Delta x_k$.
$\frac{o(\rho)}{\rho^2} \Delta x_k$ зависит не только от $\Delta x_k$, но и от всех $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ (через $\rho$) и стремится у нулю, только если все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремятся к нулю одновременно.

Итак, я понял определение следующим образом:
Функция $u = f(x_1, x_2, ... x_n)$ называется дифференцируемой в т. $M(x_1, x_2, ... x_n)$, если ее полное приращение в этой точке представимо в виде
$$
\Delta u = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + ... + A_n \Delta x_n + \alpha_1 \Delta x_1 + \alpha_2 \Delta x_2 + ... + \alpha_n \Delta x_n
$$
где каждое $A_k$ не зависит ни от одного из приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, а каждое $\alpha_k$ является, в общем случае, функцией всех приращений $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$, которая стремится к нулю, если все $\Delta x_1, \Delta x_2, .... \Delta x_n$ стремятся к нулю одновременно, и равна нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$.

Я правильно понял?

И еще, я не понимаю, зачем нужно условие "равна нулю при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$". $\Delta u$ при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = .... = \Delta x_n = 0$ будет равно нулю просто потому, что каждое слагаемое имеет приращение какого-то аргумента в качестве множителя, зачем настаивать на обнулениии $\alpha_1, \alpha_2 , ...  \alpha_n$?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции нескольких переменных
Сообщение05.12.2014, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11118
Казань
Ваши уточнения правильные, но, как мне кажется, излишние. С трудом представляю себе, что могла бы понять это определение по-другому.
Насчет обнуления. Вообще говоря, не предполагается, что $a_k$ непрерывны. Наложенное требование слабее непрерывности по совокупности аргументов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции нескольких переменных
Сообщение05.12.2014, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4877
provincialka в сообщении #940742 писал(а):
С трудом представляю себе, что могла бы понять это определение по-другому.


А мне вот удалось:)

provincialka в сообщении #940742 писал(а):
Насчет обнуления. Вообще говоря, не предполагается, что $a_k$ непрерывны. Наложенное требование слабее непрерывности по совокупности аргументов.


Да, я знаю, что не предполагается. И что? Где вообще используется тот факт, что $\alpha_k$ обнуляются при $\Delta x_1 = \Delta x_2 = ... \Delta x_n = 0$, при доказательстве какой теоремы? Я не нашел.
Для дифференцируемости функции одной переменной, кстати, условие "$\alpha = 0$ при $\Delta x = 0$" не предполагается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость функции нескольких переменных
Сообщение05.12.2014, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12833
Москва
Некоторые авторы прямо в определении дифференцируемости оговаривают непрерывность соответствующей бесконечно малой, можно также позже доопределить ее в 0 по непрерывности. Это бывает нужно в аккуратных доказательствах дифференцируемости сложной функции и т.п.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group