2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:15 


29/08/11
1759
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, понять такое задание:

Найти образ $E$ области $$D: \left \{ |z|<1; \quad 0 < \arg{z} < \frac{\pi}{2} \right \}$$

плоскости $z$ при отображении функцией $w=z^2$.

Область $D$ представляет собой сектор открытого круга $|z|<1$ между лучами \varphi = 0 и \varphi = \frac{\pi}{2}.

(Рисунок области D)

Изображение


Известно, что функция $w=z^n$ отображает взаимно-однозначно и конформно внутренность любого угла с вершиной в точке $z=0$ и раствора $\alpha$ , $0 < \alpha < \frac{2 \pi}{n}$, на внутренность угла с вершиной в точке $w=0$ и раствора $n \alpha$.

При $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ функция $w=z^n$ отображает область $\left \{ \varphi_{0} < \arg{z} < \varphi_{0} + \frac{2\pi}{n} \right \}$ на плоскость с разрезом вдоль луча $\arg w = n \cdot \varphi_{0}$.

По условию $n=2$.

То есть область $\left \{0 < \arg{z} < \frac{\pi}{2} \right \}$ отобразится на область $\left \{0 < \arg{z} < 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right \}$ или $\left \{0 < \arg{z} < \pi \right \}$ с разрезом вдоль положительной части оси $Ox$.

И вот тут непонятен момент: зачем добавлять слова про разрез, если у нас и так неравенства строгие? :?:

Образом окружности $|z|=1$ будет окружность $|z|=1^2$ или $|z|=1$.


Итого, область $D$ отобразится на область $$E: \left \{ |z|<1; \quad 0 < \arg{z} < \pi \right \}$$

Подскажите, пожалуйста, я верно мыслю?

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Limit79 в сообщении #940201 писал(а):
И вот тут непонятен момент: зачем добавлять слова про разрез, если у нас и так неравенства строгие? :?:

А кто Вас заставлял их добавлять?...

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:30 


29/08/11
1759
ewert

Не заставлял никто, но вот тут:
Limit79 в сообщении #940201 писал(а):
При $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ функция $w=z^n$ отображает область $\left \{ \varphi_{0} < \arg{z} < \varphi_{0} + \frac{2\pi}{n} \right \}$ на плоскость с разрезом вдоль луча $\arg w = n \cdot \varphi_{0}$.

Тоже неравенства строгие, но фраза про разрез есть. Причем почему-то только про один.

И вообще, в принципе, это задание можно так делать? Или же нужно выделять действительную и мнимую части функции $w=z^2$ и смотреть куда переходят точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Limit79 в сообщении #940211 писал(а):
но вот тут:

А тут совсем не Ваш случай. Угадайте, почему.

Limit79 в сообщении #940211 писал(а):
И вообще, в принципе, это задание можно так делать?

В принципе можно, только не до такой степени занудно. Вполне достаточно обосновать всё это дело словом "очевидно".

Limit79 в сообщении #940211 писал(а):
Или же нужно выделять действительную и мнимую части функции $w=z^2$

А вот это уже было бы абсолютно вредно. Задачка -- на именно геометрический смысл этого преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:43 


29/08/11
1759
ewert в сообщении #940214 писал(а):
А тут совсем не Ваш случай. Угадайте, почему.

Там написано, при $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$, а это как раз граничные точки для аргумента (которые у меня выколоты)?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 17:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Там совпадающие эны в фрагментах формулировки, а у Вас -- несколько отнюдь.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 18:13 


29/08/11
1759
ewert
Спасибо.

Проверки ради, я все же выделил действительную и мнимую части, и у меня получилось, что точка $\left ( \frac{1}{2} ; 0 \right )$ переходит в точку $\left ( \frac{1}{4} ; 0 \right )$, и как-то этот момент непонятен, ведь область как бы растягивается в два раза вдоль дуги окружности (простите за мой французский, не знаю, как лучше это сказать), но для точки $\left ( \frac{1}{2} ; 0 \right )$ вторая координата не меняется...

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Limit79 в сообщении #940234 писал(а):
ведь область как бы растягивается в два раза вдоль дуги окружности
Она раскрывается, как веер. Но одна сторона этого веера зафиксирована. А именно - положительное направление оси $Ox$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 18:28 


29/08/11
1759
provincialka
То есть любая точка на положительном направлении оси $Ox$ при данном отображении так и останется на этой же оси?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Limit79, что за привычка переспрашивать то, что уже сказано. Будьте увереннее в себе! А так - да, конечно. Кто бы сомневался, что квадрат вещетвенного числа - положительное вещественное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП: отображение сектора круга ф-ей z^2
Сообщение04.12.2014, 18:40 


29/08/11
1759
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group