2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение29.11.2014, 13:57 


02/06/12
66
Pphantom в сообщении #936415 писал(а):
Если желаемое - это получение исходной функции после многократного дифференцирования и интегрирования, то никак. В общем случае эта задача не решается.

Понятно, что для произвольной степени задача вряд ли решиться. Пусть я хочу получить исходную функцию после 4-х многократного дифференцирования и интегрирования, скажем, для достаточно широкого класса функций. Какие мои действия?


Pphantom в сообщении #936415 писал(а):
В общем, как обычно и бывает в таких ситуациях, нужно формулировать исходную задачу, а не странные промежуточные вопросы, возникающие при реализации неправильного решения

Я понимаю, но этот вопрос мне интересен и отдельно от исходной задачи. Где можно подробнее посмотреть про
Pphantom в сообщении #935877 писал(а):
дополнительная ошибка порядка $O(f\cdot \varepsilon/h)$



Pphantom в сообщении #936415 писал(а):
Вы пытаетесь вычистить полиномиальную составляющую из чего? Шума, периодического сигнала, еще чего-то? Подобные методы существуют, но надо бы знать, к чему их педполагается применять. Так что излагайте все полностью

Если так хотите. Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить. Я знаю для этого 2 способа, оба они работают не всегда корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение29.11.2014, 16:34 


17/10/08
946
Итак, задача состоит в разложение исходного сигнала на полезный сигнал и фон (т.е. на две функции).

Можно составить вариационную задачу, аппроксимировать ее на сетке и решить.

Отличие фона от полезного сигнала - в плавности. Плавность можно охарактеризовать, скажем, второй производной.

Приходим к функционалу, который представляет собой сумму из трех слагаемых под интегралом на интервале измерения исходного сигнала:
1. Близость исходного сигнала сумме фона и полезного сигнала. Можно взять квадрат разности.
2. Плавность фона (точнее, функции, описывающей фон ) – можно взять квадрат второй производной функции фона. Взять эту разность с некоторым коэффициентом.
3. Плавность полезного сигнала – можно также взять квадрат второй производной, прибавить с меньшим коэффициентом, чем фон. В принципе, можно рассмотреть вариант с квадратом первой производной, суть требованием непрерывности.

Потом аппроксимировать функционал на сетке и решить задачу. Здесь можно посмотреть решение аналогичной проблемы (раздел нелинейное программирование):
http://np-soft.ru/downloads/npl20091228.zip

Работает на достаточно широком классе сигналов, если можно так выразиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение29.11.2014, 22:09 
Модератор
Аватара пользователя


09/05/12
9452
Кронштадт
BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):
Понятно, что для произвольной степени задача вряд ли решиться. Пусть я хочу получить исходную функцию после 4-х многократного дифференцирования и интегрирования, скажем, для достаточно широкого класса функций. Какие мои действия?
Давайте начнем с того, что в задачах вычислительной математики идеальных результатов не бывает (кроме отдельных тривиальных и поэтому неинтересных случаев). Бывают результаты, удовлетворяющие какому-то критерию близости к идеалу.

При этом критерии могут быть существенно разными: например, исходную функцию можно восстановить так, чтобы минимальной была чебышевская норма разности, а можно так, чтобы минимизировать интегральную. Это одна (но далеко не единственная причина), из-за которой нужны пояснения, что, собственно, Вы хотите получить и зачем, поскольку разным критериям будут соответствовать разные решения.

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):
Где можно подробнее посмотреть
В общем-то в любом стандартном учебнике по вычислительной математике, но это и так совершенно тривиально.

Значение функции $f$ в некоторой точке $x$ известно с погрешностью: $\tilde f(x) = f(x) \cdot (1+\varepsilon)$ (вообще говоря, относительная погрешность представления для разных $x$ разная, так что правильнее было бы написать $\varepsilon(x)$, но для простоты можно считать, что мы берем некую среднюю оценку). Тогда очевидно, что разностная аппроксимация производной будет отличаться от идеального значения как раз на величину порядка $f(x) \cdot \varepsilon/h$, причем от "математической" точности разностной аппроксимации результат не зависит.

BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):
Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить.
Рецепт опять-таки зависит от критерия отнесения чего-либо к пику или к фону. Помимо того, что уже предложил mserg, можно использовать такой вариант: взять значения на некоторой сетке (с достаточно редкими узлами), построить по ним аппроксимационный сплайн (например, кубический), а затем вычесть его из данных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение02.12.2014, 11:16 


07/08/14
1656
BasilKrzh в сообщении #937779 писал(а):
Есть некоторый сигнал, который представляет собой сумму набора различных по форме нерегулярно расположенных пиков и плавного (полиномиального?) фона. Я этот фон хочу, по-возможности, удалить.

скажите, а почему многократное дифференцирование и интегрирование может позволить это сделать, в чем идея?
я бы понял, если б вы взяли некоторый сигнал с заранее хорошо известными свойствами и начали с ним сравнивать свой.
или например заранее зная, что вам известен вид полезной информации, сравниваете результаты туда-обратно на разной "глубине" дифференцирования по разнице пытаясь найти влияние фона -
$y=e^x+x$ (предположим, что наш фон - это $e^x$ и именно его вы добавляете к своему полезному сигналу $x$)
на второй производной получаем $e^x$ и все остальные такие же - вроде как выделили фон.
вы предполагаете, что для фона все производные, начиная с какого-то порядка имеют примерно одно и то же поведение или что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение02.12.2014, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
4963
Идея, насколько я понимаю, в том, что если у нас есть $y=f(x)+p_n(x)$, где f(x) есть некоторый полезный сигнал, который желаем выделить, а $p_n(x)$ есть полином степени n, являющийся помехой (причём f(x) в некотором смысле "не похожа" на полином, например, у неё существуют ненулевые производные высокого порядка), то если продифференцировать (n+1) раз, помеха обратится в ноль, а f(x) нет, и затем, интегрированием, f(x) восстанавливается. Такой приём был предложен где-то в конце XIX века в экономической статистике для поиска экономических циклов, предполагая, что они приблизительно выражаются синусоидами, а "тренд" - полиномом. Таким образом было найдено множество циклов разного периода с глубокомысленнейшими объяснениями, и только после открытия эффекта Слуцкого-Юла стало ясно, почему найденные циклы не описывают дальнейшее развитие экономики. Дифференциатор работал, как ВЧ-фильтр, а интегратор - как НЧ-фильтр, вместе составляя полосно-пропускающий, выделявший из сопровождавшего данные шума узкую полосу, выглядевшую, как периодические колебания, несмотря на отсутствие их в полезном сигнале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многократное численное дифференцирование и интегрирование
Сообщение02.12.2014, 12:27 


07/08/14
1656

(Оффтоп)

Евгений Машеров
спасибо за разъяснения. помеху может и можно отделить, а вот шум (белый) врядли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group